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2、对称性常用性质函数的对称性一般体现在中心对称和轴对称。函数的奇偶性和周期性就是对称性的 直接体现，常见的有以下结论。【性质 1】函数 y=f(x)的图像关于原点 O(0 ,0)对称f(x)=-f(-x)。 （这是奇函数的数 与形的体现） 。推论 1：函数 y=f(x)的图像关于点 M（a，b）对称f(x)+f(2a-x)=2b证明：因为函数 y=f(x)的图像关于点 M（a，b）对称，所以函数 y=f(x)的图像按向 量 a=（-a,-b）平移后对应图像的解析式为：y=f(x+a)-b，关于原点 0(0，0)中心对称，由性 质 1 知 f(-x+a)-b=-f(x+a)-b ，即 f(a-x)
3、+f(a-x)=2b，即 f(x)+f(2a-x)=2b。反之也成立。推论 2：函数 y=f(x)与 y=2b-f(2a-x)的图像关于点 M(a ,b)成中心对称。【性质 2】函数 y = y=f(x)的图像关于 y 轴对称f(x)=f(-x)。 （这是偶函数的数与形的 体现） 。推论 3：函数 y=f(x)的图像关于直线 x = a 轴对称f(a+x)=f(a-x)，即 f(x)=f(2a-x)。证明：因为 y=f(x)的图像关于直线 x = a 对称，所以函数 y=f(x)的图像按向量 a=(-a,0)平 移后图像的解析式为：y=f(x+a)，关于 y 轴对称，由性质 2 知 f(x+a
4、)=f(-x+a)，即 f(a+x)=f(a- x)，即 f(a+x)=f(a-x)。反之也成立。推论 4：函数 y=f(x)与 y=f(2a-x)的图像关于直线 x = a 成轴对称。【性质 3】函数 y=f(x)的图像与 x=f(y)的图像关于直线 y=x 成轴对称。推论 5：函数 y=f(x)与 x-a=f(y+a)的图像关于直线 x-y=a 成轴对称。证明：x-y=a 可以看作 y=x-a，x=y+a，代入到 y=f(x)中即得。反之也成立。推论 6：函数 y=f(x)与 a-x=f(a-y)的图像关于直线 x+y=a 成轴对称。【性质 4】若函数 y=f(x)的图像关于点 A (a
5、,c)和点 B (b ,c)成中心对称（ab） ，则 y=f(x)是周 期函数，且 2| ab|是其一个周期。若函数 y=f(x)图像关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称（ab） ，则 y=f(x)是周期 函数，且 2|ab|是其一个周期。若函数 y=f(x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称（ab） ， 则 y = f (x)是周期函数，且 4| ab|是其一个周期。简单地说，就是一个函数有两个对称中心，或者两个对称轴，或者一个对称中心一 个对称轴，则函数具有周期性。以下证明，其余结论可由读者自己证明。证明：由已知和推论 3，可得 f(x)=
6、f(2a-x)（*）和 f(b+x)=f(b-x)（*） ，f(x)=f(2a-x) =fb-b-(2a-x)=f（2b-2a）+xy=f(x)是周期函数，且 2| ab|是其一个周期。二、函数对称性应用举例【例 1】定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x)=(x-1)2，求 f(x)解析式。解：本题实质就是求函数 f(x)=(x-1)2（x0）的图像关于原点对称的函数图像的 解析式。由推论 2 可知当 x0 时，f（x）=(-x-1)2，又因为是奇函数，所以 f(0)=0。所以 函数的解析式为 f(x)=【例 2】设定义域为 R 的函数 y=f(x)、y=g(x)都有反函数，
7、并且 f(x-)和 g-1(x-2) 函数的图像关于直线 y=x 对称，若 g(5)=2006，那么 f(4)=( )。(A)2006（B）2008 （C）2010 （D）2012 解：f(x-1)和 g-1(x-2)函数的图像关于直线 y=x 对称y=g-1(x-2)的反函数是 y=f(x-1)y=g-1(x-2)的反函数是 y=2+g(x)f(x-1)=2+g(x)有 f(5-1)=2+g(5)=2008ff(4)=2008，应选（B）【例 3】设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(1+x)=f(1-x),当1x0 时，f(x)=-12x， 则 f(8.6)=解：f(x)是定义在
8、R 上的偶函数x = 0 是 y=f(x)的对称轴f(1+x)=f(1-x)x = 1 也是 y=f(x)对称轴y=f(x)是以 2 为周期的周期函数， f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3【例 4】已知定义在 R 上的函数 f(x)的图像关于点(-34,0)对称，且满足 f(0)=-2，f(1) =1，f(x)=-f(x+32)，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2008)的值为（ ） 。(A)-2 （B）-1 （C）0 （D）1 解：函数 f(x)的图像关于点(-34,0)对称由推论 1 得 f(x)+f2（-34）-x=0，即 f(x)=-f(-32-
9、x)f(x)=-f(x+32)f(x+32)=f(-32-x) 令 x=x+32，则 f(x)=f(-x)，即函数 f(x)为偶函数由性质 4 结论，函数 f(x)的一个周期为 4-34-03f(3)=f(0)=-2，f(1)=1，f(2)=f(-2)=f(1)=1f(1)+f(2)+f(3)+f(2008)=1，故选 D。【例 5】 (06 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 f(x+2)，则 f(6)的值为（） 。(A)-1(B) 0(C)1(D)2解：f(x)是定义在 R 上的奇函数f(0)=0f(x+4)=f（x+2）+2=-f(x2)=f(x)f(6)=f(2)=-f(
10、0)=0三、函数对称性练习（07 天津）在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数，且 f(x)=f(2-x)，若 f(x)在区间1，2上是减函数，则 f(x)(A)在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数(B)在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数(C)在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数(D)在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数参考答案：（B）（作者单位：河北河间华油四中）其他参考文献Baker, Sheridan. The Practical Stylist. 6th ed. New York: Harper & Row, 1985.Flesch, Rudo
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