《无ambrosettirabinowitz条件时的非线性plaplace型椭圆边值问题的多重解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《无ambrosettirabinowitz条件时的非线性plaplace型椭圆边值问题的多重解（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、华中师范大学硕士学位论文无Ambrosetti-Rabinowitz条件时的非线性p-Laplace型椭圆边 值问题的多重解姓名：李映红申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：李工宝20090501硕士学位论文 M A S T E R ST H E S I S摘要本文研究以下p L a p l a c e 型非线性椭圆边值问题 一伞吖扛一) 距Q( ) 【牡= 0 ，z 夙2的多解的存在性，其中1 0 ，对几乎所有的名Q ，任意的t R ，有I ，( z ，t ) I a + cltt - - 1其中l P 时，P + = 型N - 奠p ，当N P 时，P + = + o o ( 矗k l
2、 i m 鬻= f 关于z Q 一致成立，其中h 删A 为 一p 在W 巾( Q ) 中的第一特征值，且2 不是- A p 在W o p ( Q ) 中的特征值( ) 存在常数M 。，使得对任意的( z Ef lxR , 有耳筹掣M ( ) 存在6 0 ，使得当z Q ，jtJ 6 时，A 1It p p F ( x ，) ，其中F ( z ，) = ，( z ，s ) 幽，( ，6 ) 存在a 一 o ，t _，( z ，t ) + fItI p 一2t 在f a 一，叽】上单调不减；或者( i i ) 对几乎所有z Q ，( z ，口一) = 0 = ，( 墨a + ) ，且存在f l 0
3、 ，使得对几乎所有z Q ，任意的t 【0 ，a + 】，有0 ( x ，t ) la + 一) p 一1 ；存在已 0 ，使得对几乎所有z Q ，任意的t 陋一，o 】，有一已( 一8 一) p 一1 ，( 霸t ) 0 ( ，7 ) ：觋器= 。关于xEl t - - 致脏( ) 存在s 。，任取xEf l , 矗警笔关于在s 。时单调不减，而在亡- - 8 0 时单调不增( 届) 对任意的( z ，t ) Q R ，有，( z ，- t ) = 一( x ，) ( A R ) ( A m b r o s e t t i - R a b i n o w i t z 条件) ：存在口 0 ，
4、+ M 0 ，使得当Itl M 时，对任意的z Q ，有o F p ，) 南m 船我们称让哪p ( Q ) 是问题( 1 1 ) 的一个弱解，若对任意的口螂护( Q ) ，有上l 。乱I V - 2D u D v 如= Z ，( z ，u ) u 如由条件仇) 知，U 三0 是问题( 1 1 ) 的一个平凡解：我们要研究( 1 1 ) 的非平凡解的存在性( 1 1 ) 的弱解可看成( 1 1 ) 对应懈巾( Q ) 上的变分泛函，( 让) = 三Zl 。锃| p 如一ZF ( z ，锃) 如的临界点自从1 9 7 3 年A m b r o s e t t i R a b i n o w i t
5、 z 在 1 】中提出”山路引理”以来，用临界点理论研究方程的解成为种代表性的方法2A m b r o s e t t i R a b i n o w i t z 在【l 】中得到了( 1 1 ) 在P = 2 且f ( x ，t ) 满足( ) 7 ( 厶)( ) ( A R ) 时的非平凡解的存在性在 3 0 1 中，R a b i n o w i t z 得到了( 1 1 ) 在P = 2 且f ( x ，) 满足( ) ( 厶) ( f z ) ( A R ) ，且( x ，t ) 关于t 为奇函数( 即( 矗) 成立) 时的无穷多个解的存在性粗略地讲，用山路引理可得到( x ，t )
6、 在t = 0 处具有P 一超线性( 即( 办) 成立) ，在t = + 。o 处具有次临界增长( 即( 正) 成立) 且( A R ) 条件成立时的( 1 1 ) 的非平凡解的存在性( 1 1 ) 在P l 时一般情形的结果与P = 2 时的结果类似这方面的结果可参见f 2 2 3 1 等文献关于( 1 1 ) 的多重解，A m b r o s e t t i - G a r c i aA z o r e r o - P e r a lA J o n s o 在f 2 】中，G a r -c i aA z o r e r o - M a n f r e d i - P e r a lA l
7、o n s o 在【1 8 】中研究了( x ，t ) = Altl q 2t - t - I r - - 2 亡，1 1的情形可参见【11 3 6 最近N S P a p a g e o r g i o u ，E M R o c h a 和V S t a i c u 在【2 9 】中得到了( 1 1 ) 当f ( x ，t ) 满足( ) ( 五) ( ) ( ) 和( A R ) 条件时的四个非平凡解的存在性结果在本文中，我们希望在没有( A R ) 条件下得到( 1 1 ) 有四个非平凡解的结论易知( A R ) 条件表明，存在c l ，c 2 0 ，使得当t ) Q R 时，F ( x
8、 ，t ) c 1lti p + 0 一C 2 故当，( z ，) 满足( 厶) 时，( A R ) 条件是不可能成立的近年来，人们对( 1 1 ) 在( A R ) 条件不一定成立时的非平凡解的存在性进行了大量研究，得到了一系列的结果( 见【2 H 6 】【2 l j 【2 3 】- 【2 6 】) 但这些结果基本上是在( x ，t ) 满足( 办) ( 即在3tW - - - - 0 处具有p 一超线性) 时得到的例如G B L i 和H S Z h o u 在f 2 3 】中，得到了( 1 1 ) 在f ( x ，t ) 满足( ) 7 ( 厶) ( ) ( ) 和8 0 = 0 时的(
9、 ) 及( ) 时的非平凡解的存在性，以及当( ) 中z 不断增大时多解的存在性本文的主要目的是将【2 9 】中的结果推广到，( z ，t ) 不满足( A R ) 条件的情形，同样，将【2 3 q b 的结果推广到S ( x ，t ) 在t = 0 不具有p 一超线性的情形设， A l = m _ i n I ID uJ I ；，让w J 伊( Q ) ，I 牡I pd x = 1 ) ，n其中I ID u 表示D u 的汐一范数记牡l 0 为上述极小的汐模标准化的达到函数( 主特征函数) 由正则性理论，我们知道锃l 锘( Q ) = 牡C 1 ( 磊) ：牡I 勰= o ) 此外，由V a
10、 z q u e z 的最大值原理( 【3 2 】，T h e o r e m5 ) ，可知U x ( X ) 0 于Q 上且当z 施时，塑b n ( z ) 0 , xEQ ，瓦0 u ( z ) 0 ，使得对任意的Y ，z U ，l 妒( y ) 一妒( z ) J KI IY zI J x ，定义2 2设妒：X _ R 是局部L i p s c h i t z 的，妒对于给定方向h X 在z X 处的广义方向导数定义如下： 此= 燮盟世掣一一z ， i 0函数hH 矿( z ；九) 是次线性且连续的( 【1 7 】，P r o p o s i t i o n1 3 7 ) 定义2 3设妒
11、：X 叶R 是局部L i p s c h i t z 的，定义却( z ) = z + X + ：z + ，h ) 妒。仁； ) ，h x a 矽( z ) 是x + 中的非空，宰弱紧的凸子集( 【1 7 】，P r o p o s i t i o n1 3 8 或( 2 0 J ) 我们称多值函数zHO5 I o ( x ) 为妒的广义次微分若妒c 1 ( X ) ，则a 妒( z ) = 妒7 ( z ) ) ( 【l7 】，P r o p o s i t i o n1 3 1 0 )命题2 4 ( 【l7 】，P r o p o s i t i o n1 3 1 2 与1 3 1 3 )
12、设妒，妒：x _ R 是局部L i p s c h i t z 的，则( a ) 对任意的A R ，a ( A 妒) 0 ) = 入却( z ) ；硕士学位论文 M A S T E R ST 1 4 E S I S( b ) a ( 妒+ 妒) ( z ) a 妒( z ) + a 砂( z ) ；( c ) 若z X 为妒的局部极值点，则0 a 妒0 ) 命题2 5 ( 【17 】，P r o p o s i t i o n1 3 1 5 )设x ，y 为B a n a c h 空间，函数夕：X _y 有连续的G h t e a u x 导数，函数矽：Y _ R 是局部L i p s c h
13、 i t z 的，则( a ) 函数妒= 矽og ：X R 是局部L i p s c h i t z 的；( b ) a 妒( z ) ca 矽( 9 ( z ) ) O 矿( z ) = 可+ Og l ( 。) ：可l 却( 夕( 。) ) 定义2 6设妒：x _ R 是局部L i p s c h i t z 的，若。X 满足0 a 妒( z ) ，则称z X 为妒的临界点在经典的临界点理论中，添加在光滑函数上的紧性条件就是所谓的P a l a i s -S m a l e 条件( 以下简称( P S ) 条件) 为了讨论非光滑情形，下面给出非光滑( P S ) 条件与非光滑C e r a
14、 m i 条件( 以下简称( c ) 。条件) 的定义定义2 7设妒：X 一豫是局部L i p s c h i t z 的，令m ( x ) = i n f Ix + 队矿a 妒( z ) ) ，( a ) 对c R ，我们称妒满足非光滑( p s ) 。条件，若对x 中任意满足妒( ) _ C ，m ( x 。) _ 0 的序列 ，在X 中都有强收敛的子序列若此条件对任意的c 酞都成立，则称汐满足非光滑( P 印条件( b ) 对c R ，我们称p 满足非光滑( c ) 。，若对x 中任意满足妒( ) _C ，( 1 + l lz 。1 1 ) m ( z n ) 一0 的序列 z n ，在
15、x 中都有强收敛的子序列若此条件对任意的c R 都成立，则称妒满足非光滑( C ) 条件命题2 8 ( 非光滑山路引理，【1 7 ，C o r o l l a r y2 4 1 )设( x ，f l 恢) 为B a n a c h空间，妒：X _ R 为局部L i p s c h i t z 映射若存在牙0 ，使得妒( 孟) 妒( o ) ，且存在r ( 0 ，I | 圣I I x ) 及_ f 上 p ( o ) ，使得对任意的z a 耳，妒 ) 弘此外妒满足非光滑( C ) 。条件，则亿谚8其中c = 1 i n “ft 1 0 m a x l I5 I o ( 7 ( t ) ) ，r = 【，y ，1 ；俐= 州1 ) = 牙) ，亿= z X ：0 a 垆( z ) ，妒( z ) = c ) 引理2 9 ( 2 0 1 ，L e m m a1 2 6 )设Q 为R 上的有界开区域，1 , W 1 , p ( Q )且对任意的Y a Q 有l i r au ( x ) = 0 ，z Q ，则仳w
