第3章_动量与角动量

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1、1动量与角动量动量与角动量第三章第三章大学物理学力学大学物理学力学2第三章动量与角动量第三章动量与角动量3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理3.2 动量守恒定律动量守恒定律3.3 质心 质心运动定理质心 质心运动定理3.4 质点的角动量和角动量守恒定律质点的角动量和角动量守恒定律3.5 质点系的角动量定理、角动量守恒 定律质点系的角动量定理、角动量守恒 定律3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理力的时间积累，即力的时间积累，即 冲量。冲量。2. 动量定理动量定理() dtPd dtmdF?=由由有有PddtFId?=1. 冲量冲量Id?（微分形式）（微分形式）dtFId?=PtF?=在短时间内在

2、短时间内t重要性重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。0 0PPdtFItt?=方向？方向？（积分形式）（积分形式）0 00PPPddtFPPtt?=在有限时间内：在有限时间内：tt 05例题例题1 质量为质量为m的质点，以恒速率的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。m2P?01201P?解：由质点的动量定理解：由质点的动量定理12PPI?=I?mPP=21()iPPIxxx?12=()

3、iiPP?060cos60cos00=()()jPjPPjPPIyyy?360sin60sin00 12=+=jmIIy?3=xy61. 质点系的动量定理质点系的动量定理个质点组成设系统由个质点组成设系统由 NijiF?jF?jif?ijf? ?ji,ij,ffff ,ff31132112内力：内力：?, ji,FFFF21外力：外力：3.2 动量守恒定律动量守恒定律dtpdfFijiiji?=+第第i个个质点受力为：质点受力为：2dtpdfFijiiji?=+第第i个个质点受力为：质点受力为： =+NiiNijiijNiipdtdfF111?对质点系所有对质点系所有N个粒子求和：个粒子求和：

4、 =NiiFF1? =NiipP1?（由牛顿第三定律）（由牛顿第三定律）01= =Nijiijf?所以所以PddtF?=其中：其中：作用于系统的合外力的冲量等于系统动 量的增量。作用于系统的合外力的冲量等于系统动 量的增量。2. 质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律质点系所受质点系所受合外力为零合外力为零，总动量不随时间改变。，总动量不随时间改变。（内力不改变系统的总动量，总动量守恒。）（内力不改变系统的总动量，总动量守恒。）0PPI?=或：或：PddtF?=常矢量常矢量=NiipP1?9（1）合外力为零，或外力与内力相比小很多（）合外力为零，或外力与内力相比小很多（2）合外力沿某一方向为

5、零；则沿此方向（）合外力沿某一方向为零；则沿此方向（3）只适用于惯性系；（）只适用于惯性系；（4）比牛顿定律更普遍的最基本的定律。）比牛顿定律更普遍的最基本的定律。守恒条件守恒条件说明：说明：常量= 常量=lP（如碰撞、打击、爆炸等过程），（如碰撞、打击、爆炸等过程），总动量守恒。总动量守恒。例题例题2如图所示,设炮车以仰角如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车 和炮弹的质量分别为发射一炮弹，炮车 和炮弹的质量分别为M和和m，炮弹的出口速度为，炮弹的出口速度为v，求 炮车的反冲速度，求 炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。解: 把炮车和炮弹看成一个系统。炮车与地面间的摩擦力不计。解:

6、 把炮车和炮弹看成一个系统N? NG?=发炮前发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力地面支持力系统在竖直方向上的外力有重力地面支持力G?而且但在发射过程中并不成立（为什么？）而且但在发射过程中并不成立（为什么？）NG?= vmM系统所受的外力矢量和不为零，系统的总动量不守恒。系统所受的外力矢量和不为零，系统的总动量不守恒。但在水平方向上系统的动量守恒但在水平方向上系统的动量守恒以地面为参考系 S,以炮车为参考系S。以地面为参考系 S,以炮车为参考系S。由伽里略变换由伽里略变换,炮弹相对于地面在水平方向的速度为炮弹相对于地面在水平方向的速度为Vu=cos根据动量守恒定律有根据动量守恒定律有()0c

7、os=+VmMVcosMmmV+=则炮车的反冲速度为方向向左则炮车的反冲速度为方向向左12例题例题3 火箭飞行原理火箭飞行原理x（t）（t+dt）MvM-dmv+dvdmu解：解：研究火箭（不考虑引力和空气阻力等任何外力 的影响）研究火箭（不考虑引力和空气阻力等任何外力 的影响） t 时刻系统的动量时刻系统的动量Mt+dt 时刻系统的动量时刻系统的动量()()()udmddmM+dMdm=因为所以因为所以()()()udMddMM+313火箭在喷出气体前后火箭在喷出气体前后系统动量守恒系统动量守恒=M()()()udMddMM+略去二阶无穷小量略去二阶无穷小量ddM MdMud=fi ifMM

8、uln=以火箭为研究对象，求喷出气体对火箭的推力以火箭为研究对象，求喷出气体对火箭的推力F。由动量定理由动量定理()()MdddmMFdt=+=udmudMMd=dtdmuF =14提高火箭速度的途径有二：第一是提高火箭喷气速度提高火箭速度的途径有二：第一是提高火箭喷气速度u第二是加大火箭质量比第二是加大火箭质量比Mi/Mf( (选优质燃料选优质燃料) () (采取多级火箭采取多级火箭) )fi ifMMuln= dtdmuF =3.3 质心 质心运动定理质心 质心运动定理N个粒子的系统，可定义质量中心个粒子的系统，可定义质量中心,即即质心质心。xyz miir?cr?c一、质点系的一、质点系

9、的质心质心质点系质点系Nimmmm?,21Nirrrr?,21 =iimmmrmrNiiic/1 =?= mcmdmrr/?对连续分布的物体对连续分布的物体x zyOdmr?c= mcmxdmx/= mcmydmy/= mcmz/cr?说明:说明:质心处不一定有质量质心是位置的加权平均值质心处不一定有质量质心是位置的加权平均值例题例题4任意三角形的每个顶点有一质量任意三角形的每个顶点有一质量m , 求质心。求质心。xyo（x1，y1）x2=iii cmmxx解：解：mmxmxxc321+=3311y mmyyc=321xx +=二、质心运动定理二、质心运动定理=iiiiimmc ?质心速度质心

10、的位矢质心速度质心的位矢=iiiiimrmcr? =iiiiicmam a? ?质心加速度质心加速度4质点系的合外力质点系的合外力=iimm质点系的质量质点系的质量=iiFF?质点系的合内力质点系的合内力0= jiijff?根据牛顿定律根据牛顿定律,对于质点系有对于质点系有:i iiamfF?=+camF?=质点系的质量与其质心加速度的乘积等 于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系的质量与其质心加速度的乘积等 于作用在质点系上所有外力的矢量和。讨论讨论（1）质心的运动可看成是把质量和力都集 中在质心的一个质点的运动；质心处的质点 代表质点系整体的平动。（1）质心的运动可看成是把质量和力都集

11、中在质心的一个质点的运动；质心处的质点 代表质点系整体的平动。恒矢量= 恒矢量=c?0=F?（2）若质心速度不变就是动量守恒（同义语）（2）若质心速度不变就是动量守恒（同义语）camF?=（3）而质量中心最有资格代表质点系的平动。）而质量中心最有资格代表质点系的平动。 为什么？为什么？合外力直接主导质点系的平动，因为只有质心的加速度才满足上式。合外力直接主导质点系的平动，因为只有质心的加速度才满足上式。只要外力确定，不管作用点怎样，质心的 加速度就确定，质心的运动轨迹就确定，即质 点系的平动就确定。系统的内力不会影响质心的运动。只要外力确定，不管作用点怎样，质心的 加速度就确定，质心的运动轨迹

12、就确定，即质 点系的平动就确定。系统的内力不会影响质心的运动。（如抛掷的物体、跳水的运动员、爆炸的焰火等，其质心的运动都是抛物线）。（如抛掷的物体、跳水的运动员、爆炸的焰火等，其质心的运动都是抛物线）。例题例题5水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球 的质量水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球 的质量m，纸被拉动时与球的摩擦力为，纸被拉动时与球的摩擦力为 f。解：解：camf?=mfac=2 21tmf）（）（=c fca2 21taxcc=求：求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？秒后球相对桌面移动多少距离？作 业作 业3.1、3.2、3.193.4 质点的角动量和角动量守恒定律一、质点的角

13、动量质点的角动量和角动量守恒定律一、质点的角动量mP?r?L? 角动量的大小角动量的大小sinsinrmrPL=?mrPrL=L?注意注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。o角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率()Prdtd dtLd? =二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理BdtAd dtBdABAdtd?+=+=)(* 微分公式微分公式Pdtrd dtPdrdtLd?+=+=FdtPd?= =0=? mPdtrd FrdtLd?=M?

14、= =定义为对固定点定义为对固定点O的的力矩力矩5合外力矩对时间的积累作用 等于它的角动量变化合外力矩对时间的积累作用 等于它的角动量变化LddtM?=微分形式微分形式若力矩作用一段有限时间，则有若力矩作用一段有限时间，则有积分形式积分形式注意注意力矩、角动量均对惯性系中同一点而言力矩、角动量均对惯性系中同一点而言1221LLtdMtt?=角动量定理角动量定理三、质点的角动量守恒定律三、质点的角动量守恒定律0=M?1221LLtdMtt?=由角动量定理由角动量定理12LL?=对于某一给定点对于某一给定点,当作用在质点上的合外 力矩为零时当作用在质点上的合外 力矩为零时,质点的角动量在运动过程中

15、保持 不变。质点的角动量在运动过程中保持 不变。例题例题6 质量为质量为m的圆锥摆摆球，以速率的圆锥摆摆球，以速率v运动时，对运动时，对O 参考点的角动量是否守恒？对参考点的角动量是否守恒？对c参考点的角动量是否 守恒？参考点的角动量是否 守恒？mgTRV?解：摆球受力如图（解：摆球受力如图（1）以）以O为参考点为参考点gmRM?=RmgM =逆时针重力矩张力矩逆时针重力矩张力矩TRM?=()=090sinRTMcosRT=Rmg=顺时针顺时针oml对对O点角动量守恒点角动量守恒（2）以）以C点为参考点则对点为参考点则对O点的点的合外力矩：合外力矩： 0=RmgRmgMogmlM?=sinlmgM =0=TlM?():夹角夹角重力矩：张力矩：重力矩：张力矩：v?mRL=L?方向随时间变化对方向随时间变化对C点的点的合外力矩合外力矩：0sin=lmgMc对对C点角动量不守恒点角动量不守恒mgTRV?omlc角动量角动量例题7例题7当质子以初速当质子以初速