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1、数形结合思想在数学教学中应用 1目目 录录摘要3关键词3前言41.数形结合在概念教学中的应用51.1 代数概念教学中的数形结合51.2 几何概念教学中的数形结合72.数形结合在解题教学中的应用82.1 数形结合解方程82.2 数形结合解决不等式问题102.3 数形结合解决数列问题102.4 数形结合求参数112.5 数形结合求概率122.6 数形结合求解平面向量问题122.7 数形结合求最值132.8 数形结合解决复数问题132.9 数形结合在集合问题中的应用143.小结154.致谢155.参考文献16数形结合思想在数学教学中应用 2数形结合思想在数学教学中的应用摘摘 要要 ： 数形结合反映数
2、学问题与结论之间的内在联系。本文结合高中数学教学，在数学概念与解题教学两个方面对数形结合的应用进行了较为系统、深入的探讨。关键词关键词： 数形结合；数学概念；解题教学Application of the Combination of Quantities and Spatial Forms in Mathematics TeachingStudent：Zuo YangInstructor: Ping Jing ShuiDepartment of Mathematics and computer science ，Huai Nan Normal UniversityAbstract: The c
3、ombination of quantities and spatial forms reflects the intrinsic link between mathematical problems and conclusions. In this paper, we make some discussions the use of combination of quantities and spatial forms in mathematics concept and the teaching of problem solving.KeyKey words:words: combinat
4、ion of quantities and spatial forms; Mathematical concepts, problem solving instruction前言前言数形结合思想在数学教学中应用 3所谓数形结合是指数与形之间一一对应的关系，根据数学问题的题设与结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何直观，将抽象的数学语言和数量关系与直观形象的几何图形结合起来，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而优化解决问题的途径。数形结合思想应用的实质在两个方面，1、以数辅形，就是通过具体的数量关系来确定和规范几何图形；2、以形助数，通过形象直观的图形来反映精确的数量关系。因此，
5、数形结合的研究对象很明了：数与形。总而言之，数形结合就是数与形之间的相互取长补短。数形结合思想作为一个重要的基本数学思想贯穿整个数学教育过程中，教师应该从一开始的函数体系中的数形结合慢慢渗透，培养学生建立起这种思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。在运用数形结合的过程中我们应当注意：1，彻底了解一些概念和运算的几何意义和图形的数量特征；2、正确使用参数，建立合理的关系，做好数与形之间的相互转换；3、精确确定参数的取值范围。总之，要切实把握好等价性原则。我国著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。那么我们就从两个方面来探究数形结合思想在数学教学中的应用，也是对华罗庚先
6、生的话的理解。1 1 数形结合思想在数学概念教学中的应用数形结合思想在数学概念教学中的应用数形结合思想在数学教学中应用 4每一个新概念的形成都必须经历一个由具体的直观形象思维逐步发展为抽象概括思维的过程。那么在教学中运用数形结合思想来揭示概念的内涵，可加深学生对概念的理解，激发学生学习，接受新概念的主观能动性。数学概念是对现实世界的数量关系和空间形式的概括反映，它是用数学语言和符号揭示事物本质属性的思维形式， 因而更具有抽象性。通过数形结合，巧妙找寻学生现实起点；数形结合，促进学生理解概念的本质； 数形结合， 让学生感受数学之美感. 从而为建构数学概念奠定扎实的基础。1.1 代数概念教学中的数
7、形结合代数概念就有高度的抽象性，学生理解起来相当的有困难，因此借助数形结合帮助学生理解，如下例：例 1 数列极限的概念数列极限的概念抽象难懂，它是由有限过渡到无限的转折点，学好它对于师范专科学生正确地建立无限的概念、导数的概念和今后进一步学习高等数学有着极其重要的意义。教学时先复习数列的概念： 数列是按照一定顺序排列的一列数。如：通过观察分析前几个典型数列（无穷数列）每一项的变化趋势，得到第一感性认识（极限的粗浅定义）观察分析无穷数列、：当项数 n 越来越大时，数列中项的变化趋势na是越来越接近于 0，0，1，（对于上述三个数列， 师生共同计算几个具体的项，看它的变化趋势）当项数 n 无限增大
8、时，的变化趋势又怎样呢？ 通过观察，na学生会马上说出： 无限地接近于 0，0，1。抽象到一般：对于数列，当项 na数 n 无限大时， 数列中的项无限地趋近于一个常数 A，称 A 是数列 na的极限。通过数轴上的点，理解数列中的项“无限地趋近于 A”的意义。 na数形结合思想在数学教学中应用 5我们把数列、的前 n 项对应的点在数轴上形式表示出来，如图：当项数 n 无限增大时，数列中的项无限na地趋近于 1， 在数轴上反映出来就是：对应的点与 1 对应点的距离可以无na限地小或者说可以任意小。数列、呢？ 那么这个距离怎样的小才是“任意小”？ 能否用数学式子来表示，如何刻划这个“任意小”呢？ 数
9、列中的项对应的点与 A （这里 A=0）的距离可以用| -A|来表示，师生列表计算nana| -0|的值，得出它们的距离可以任意小，也就是| -A|可以任意小。对nana于数列就是| -1|的值可以任意小。na数列极限的准确定义：数列无限地趋近于常数 A，就是对应的点与 nana常数 A 对应的点的距离可以任意小，用数学式子表达为| -A|， 于是na我们可以得到课本中的准确定义：对于一个无穷数列，如果存在一个常数 naA，无论预先指定多么小的正数 ， 都能在数列中找到一项，使得这一项Na以后所有的项与 A 的差的绝对值都小于 ， 则称常数 A 是数列的极限。又如我们在讲解“绝对值”这一概念时
10、，教师会让学生先在数轴上找出+1，-1 所对应的点，读出两点离原点的距离，这样就引出为题：，则1x x=？于是可以引导出：有理数的绝对值是指数轴上有理数点到原点的距离。若距离为零，该有理数为零；若距离为正数，则包含了原点左右的距离相等的两点；若距离为负数，则不存在。这样就加深了绝对值概念的理解。再如：在讲解高一数学第二章的“函数的单调性”这一概念时，首先应借助前一节幂函数的内容，列举等函数的图像，结合几个函数的特征，231,yx yxyxyx引导学生观察图像上升（下降）时，自变量 x 变化过程中，函数值 y 的变化情数形结合思想在数学教学中应用 6况，根据这些变化情况运用抽象的数学语言概括一下
11、，就能得到“函数单调性”这一概念。通过上述 3 个典型的代数概念的分析数形结合的运用，可总结为以形辅数。1.2 几何概念教学中的数形结合例 2 抛物线的定义解析几何中的概念复杂且难以记忆和理解，唯有通过图形与数量关系的有效结合才能做出完整的诠释，方便学生接受。在介绍“抛物线”概念的时候，教师应该从直观视觉上让学生感受，认识抛物线，即画出一个抛物线的图像（如图）。就这样画出个图像能说明什么呢？学生只是初步的感知到：这就是抛物线？这样的图像只是个独立的图形，毫无意义。所以，需要教师赋予这个图形以意义或者说是属性；将抛物线的图像纳入坐标系中，通过图形在坐标上的位置关系，来赋予图形一些属性。因此我们结
12、合图形给出抛物线的定义：平面内，到一个定点F 和不过点 F 的一条定直线 L 距离相等的点的轨迹称之为抛物线，且定点不再定直线上。这样给这条曲线做了要求，抛物线的概念就被死死订在这个抽象而又具体的思维范畴。根据上面的基本定义，我们还可以得到焦点，准线等等概念。这堪称是数与形的完美结合，相辅相成。在讲解几何概念中的数形结合时，我们不得不引出向量这概念，向量既有数的运算又有形的运算，是数与形转换的载体，其重要性，不言而喻。具体向量的作用我们将在具体解题教学中应用介绍。几何除了解析几何还有个重要的部分立体几何。例如在讲解立体几何中的线与面垂直的概念时，我们引入向量，利用向量来定义这一概念：讲立体几何
13、图形：线，面；纳入到空间坐标系中，那么就是数形结合思想在数学教学中应用 7赋予图形代数意义。如何定义线面垂直呢？根据我们学过的平面向量的运算性质：两向量的乘积为零，则两向量垂直即两条向量所代表的一系列的直线垂直。同理，我们引入法向量，若直线的方向向量与平面的法向量成正比关系，我们称该直线与平面垂直。通过上述二例可见数形结合的神奇，实在令人叹为观止。数形结合在几何概念教学中的应用可总结为：以数助形。综上所述，在教学中渗透数形结合思想，能够直接影响到学生以后学习数学概念时的分析思维，是概念学习的敲门砖。数形结合思想不仅仅在概念教学中拥有强大的功能，同样在解题教学中发挥着其中流砥柱的作用，是学生解决
14、问题之门的金钥匙。我们就高中数学解题教学中的具体实例来探究数形结合在解题教学中的应用。2 2 数形结合在高中数学解题教学中的应用数形结合在高中数学解题教学中的应用数形结合解决数学问题的一个有力的工具，也是高中数学中极为重要的基本方法之一，通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，是抽象思维与形象思维相结合，缩短思维连，简化思维过程。2.1 数形结合解方程（1）求方程的解的个数问题，主要是把方程的解的个数问题转化为两个函数交点个数的问题，利用数形结合，将问题直观化，具体化。例 3 试就实数 m 的取值情况，讨论关于 x 的方程的解的个数。21xm解析：如果去掉绝对值，直接从方程的角度很难入手，而如果利用两个函数图像交点的个数，结果便一目了然。令和，在同一坐标系中21xy ym数形结合思想在数学教学中应用 8做出他们的函数图像,如图，由图可知 当或时，两图像只有一个交点，原方程有唯一解；1m 0m 当时，两图像有两个交点，原方程有两个解；01m当时，两图像无交点，原方程无解。0m （2）数形结合求方程所有根的和的问题，应当作出相应的图像，并根据图像的对称性来求解。例 4 若满足，满足，则 ( )1x225xx2x222log (1)5xx12xxA B 3 C D 4 5 27 2解析：将所给两个条件变形处理，利用函数图像的对称性求解。将已知条件变形为：，构造
