《2014年自考 概率论与数理统计串讲讲义 第一章 随机事件及其概率》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2014年自考 概率论与数理统计串讲讲义 第一章 随机事件及其概率(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率1事件的关系与运算事件的关系与运算必然事件:必然事件:随机试验全部结果构成的集合。不可能事件:不可能事件: 一般事件一般事件 A:A 若 A、B 为两事件 若,则其蕴含:“A 发生导致 B 发生” 。BA 若,这表示 A 发生时,B 必不发生,反之亦然。BAAB若 A-B=A,则 AB=;若 AB=A,则;BA 若 ABA,则 BA。若为 n 个事件,由它们的运算可产生诸多新事件,如nAAAL,21等等。1111,nnniiii iiiiAAAAUUUI例例 1 事件发生等于“至少有 1 个发生” 。UniiA1nAAAL,212常用概率公式常用概
2、率公式(1),1)(APO1)(P0)(P(2)若,则BA )()(BPAP(3);当,则)()()()(ABPBPAPBAPAB)()()(BPAPBAP)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP(4))(1)(APAP(5))()()(ABPAPBAP(6)若两两互不相容,则nAAAL,21 niiniiAPAP11)()(U(7)若相互独立,则nAAAL,21)()()()(21 1nniiAPAPAPAPLU)()()()(211nniiAPAPAPAPLU例例 2 设1 . 0)(, 4 . 0)(, 2 . 0)(ABPBPAP则5 . 0)()
3、()(1)(1)(ABPBPAPBAPBAP1 . 0)()()()(ABPAPBAPBAP3古典概型古典概型古典概型:古典概型:当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时,任一事件 A 的概率为的样本点个数的样本点个数 A nrAP)(例例 3 从五个球(其中两个白球、三个红球)中任取两球,设 A:取到两个白球;B:一白一红球,求)(),(BPAP(1)无放回抽样:101)(2 52 2CCAP53)(2 51 31 2CCCBP(2)有放回抽样:每次有放回的取一球,连取两次2)52()(AP1 223( )( )( )55P BC注:注:若设 X 为两次有放回取球中取到白球数,则,从而X
4、)52, 2(B1212 2)521 ()52()2()(CXPAP4 4条件概率条件概率(1)若,则,其中 A 为任一事件。0)(BP)()()(BPABPBAP(2)乘法公式:)()()(ABPAPABP)()(BAPBP(其中))()()()(ABCPABPAPABCP0)(ABP例例 4 4 箱中有两白球、三红球,表第 次取到白球,则iAiP(“前两次取到白球” )101 41 52)()()(12121AAPAPAAPP(“第一次取到白球,第二次取到红球” )103 43 52)()()(12121AAPAPAAP(3)全概率公式:设是一完备事件组(或的一个划分) ,即:nBBBL,
5、21,(即诸互不相容)且,则对任一事件 A 有jiBBnjiji, 2 , 1,LiBUniiB1)()()(1iniiBPBAPAP (4)Bayes 公式 niiiKK K BAPBPBAPBPABP1)()()()()(例例 5 某工厂生产的产品以 100 个为一批,在进行抽样检查时,只从每批中抽取 10 个来检查,如果发现其中有次品,则认为这批产品是不合格的,设每批产品中的次品最多不超过 4 个,并且恰有个次品的概率如下)4 , 3 , 2 , 1( ii(1)求各批产品通过的概率;(2)求通过检查的各批产品中恰有 i 个次品的概率。)4 , 3 , 2 , 1( i解:解:(1)设事
6、件是恰有 个次品的一批产品,则由题设iBi)4 , 3 , 2 , 1( i1 . 0)(, 2 . 0)(, 4 . 0)(, 2 . 0)(, 1 . 0)(43210BPBPBPBPBP设事件 A 是这批产品通过检查,即抽样检查的 10 个产品都是合格品,则我们有1)(0BAP900. 0)(10 10010 99 1CCBAP809. 0/)(10 10010 982CCBAP727. 0/)(10 10010 973CCBAP652. 0/)(10 10010 964CCBAP由全概率公式,即得8142. 0)()()(40iiiBAPBPAP(2)由 Bayes 公式,所求概率分别
7、为123. 08142. 011 . 0)(0ABP221. 08142. 09 . 02 . 0)(1ABP397. 08142. 0809. 04 . 0)(2ABP179. 08142. 0727. 02 . 0)(3ABP080. 08142. 0652. 01 . 0)(4ABP5事件的独立性事件的独立性(1)定义:A、B 相互独立等价于)()()(BPAPBAP(2)若相互独立,则有nAAA,21L)()()()(2121nnAPAPAPAAAPLL(3)有放回抽样中的诸事件是相互独立的。例例 6 袋中有 3 白球,2 个红球,今有放回的抽取 3 次,求先后抽到(白、红、白)的概率
8、解:解:设表第 次抽到的白球,则所求为iAi12527 53 52 53)()()()(321321APAPAPAAAP(4)在 n 重贝努利(Bernoulli)试验中,若每次试验事件 A 发生的概率为,即,则事件) 10()(ppAPA 发生 K 次的概率为nkppCkPknkk nn, 2 , 1 , 0,)1 ()(L例例 7 一射手对同一目标独立射击 4 次,每次射击的命中率为 0.8,求:(1)恰好命中两次的概率;(2)至少命中一次的概率。解:解:由于每次射击相互独立,故本题可视为的贝努利试验,其中4n8 . 0p(1)设:“4 次射击恰命中两次” ,则2A1536. 0)2 . 0()8 . 0()2()(222 442CPAP(2)设 B:“4 次射击中至少命中一次” ,表“4 次皆未命中” ,则0A9984. 0)2 . 0()8 . 0(1)0(1)(1)()(400 4400CPAPAPBP