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1、2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确， 在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试第一试一、选择题：（本题满分一、选择题：（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分）1已知，那么的大小关系是 （ ）201232b=-62c=-, ,a b cA. B. C. D.abcacbbacbca 【答】C.因为，所以，故.又
2、 121a=+132b=+110abba( 62)( 21)6ca，而，所以，故.因此.( 21)22( 6)( 21)32 20621cabac2方程的整数解的组数为 （ ）222334xxyy( , )x yA3. B4. C5. D6. 【答】B.方程即，显然必须是偶数，所以可设，则原方程变为22()234xyyxy2xyt，它的整数解为从而可求得原方程的整数解为，22217ty2,3,ty ( , )x y( 7,3)(1,3)(7, 3)，共 4 组.( 1, 3) 3已知正方形 ABCD 的边长为 1，E 为 BC 边的延长线上一点，CE1，连接 AE，与 CD 交于点 F，连 接
3、 BF 并延长与线段 DE 交于点 G，则 BG 的长为 （ ）A B C D6 35 32 6 32 5 3【答】D. 过点 C 作 CP/BG，交 DE 于点 P.因为 BCCE1，所以 CP 是BEG 的中位线，所以 P 为 EG 的中点. 又因为 ADCE1，AD/CE，所以ADFECF，所以 CFDF，又 CP/FG，所以 FG 是DCP 的中位线，所以 G 为 DP 的中点.因此 DGGPPEDE.1 32 3连接 BD，易知BDCEDC45，所以BDE90.又 BD，所以 BG.22222 5BDDG2934已知实数满足，则的最小值为 （ ）, a b221ab44aabbPGF
4、EBCAD2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 7 页）A. B0. C1. D.1 89 8 【答】B.442222222219()21 22()48aabbaba baba babab 因为，所以，从而，故，因222|1abab11 22ab311 444ab2190()416ab此，即.219902()488ab 44908aabb因此的最小值为 0，当或时取得.44aabb22,22ab 22,22ab 5若方程的两个不相等的实数根满足，则实数22320xpxp12,x x2323 11224()xxxx的所有可能的值之和为 （ ）pA0. B. C.
5、 D.3 415 4【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得，所以122xxp 1232xxp ，2222 121212()2464xxxxxxpp.3322 12121212()()32 (496)xxxxxxxxppp 又由得，所以，2323 11224()xxxx2233 12124()xxxx2246442 (496)ppppp所以，所以.(43)(1)0ppp12330,14ppp 代入检验可知：均满足题意，不满足题意.1230,4pp 31p 因此，实数的所有可能的值之和为.p12330()44pp 6由 1，2，3，4 这四个数字组成四位数（数字可重复使用） ，要求满足.这
6、样的abcdacbd四位数共有 （ ） A36 个. B40 个. C44 个. D48 个. 【答】C. 根据使用的不同数字的个数分类考虑： （1）只用 1 个数字，组成的四位数可以是 1111，2222，3333，4444，共有 4 个. （2）使用 2 个不同的数字，使用的数字有 6 种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果 使用的数字是 1、2，组成的四位数可以是 1122，1221，2112，2211，共有 4 个；同样地，如果使用的数 字是另外 5 种情况，组成的四位数也各有 4 个.因此，这样的四位数共有 6424 个. （3）使用 3 个不同的数字，只能是
7、 1、2、2、3 或 2、3、3、4，组成的四位数可以是 1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有 8 个. （4）使用 4 个不同的数字 1，2，3，4，组成的四位数可以是 1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有 8 个.2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 7 页）因此，满足要求的四位数共有 4248844 个. 二、填空题：（本题满分二、填空题：（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分）1已知互不相等的实数满足，则_, ,a b c111abctbcat
8、【答答】 .1由得，代入得，整理得 1atb1bta1btc11ttac2(1)()0ctactac又由可得，代入式得，即，又，1cta1acat 22()0ctatac2()(1)0ca tca所以，所以.210t 1t 验证可知：时；时.因此，.11,1abcaa1t 11,1abcaa 1t 1t 2使得是完全平方数的整数的个数为 5 21mm【答答】 1设（其中为正整数） ，则，显然为奇数，设25 21mn n25 21(1)(1)mnnn n（其中是正整数） ，则，即.21nkk5 24 (1)mk k25 2(1)mk k显然，此时和互质，所以或或解得1k k1k 25 2, 11
9、,mk k 25,12,mkk 22, 15,mk k .5,4km因此，满足要求的整数只有 1 个.m3在ABC 中，已知 ABAC，A40，P 为 AB 上一点，ACP20，则 BC AP【答答】 .3设 D 为 BC 的中点，在ABC 外作CAE20，则BAE60.作 CEAE，PFAE，则易证ACEACD，所以 CECDBC.1 2又 PFPABAEPA60AP，PFCE，所以APBC，sinsin3 23 21 2因此.BC AP34 4已知实数满足，则, ,a b c1abc 4abc2224 3131319abc aabbcc 222abc【答答】 . 33 2因为，所以2231
10、3(3)(1)(1)(1)aaaaabca bcaa bcbca bc 2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 7 页）FEDBCAP.21 31(1)(1)a aabc同理可得，.21 31(1)(1)b bbac21 31(1)(1)c ccab结合可得，2224 3131319abc aabbcc1114 (1)(1)(1)(1)(1)(1)9bcacab所以.4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9abcabc结合，可得.1abc 4abc1 4abbcac 因此，.222233()2()2abcabcabbcac实际上，满足条件的可以分别为., ,a
11、b c1 1,42 2第二试第二试 （A）一、一、 （本题满分（本题满分 20 分）分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为 30，求它的外接圆的面积.解解 设直角三角形的三边长分别为（） ，则., ,a b cabc30abc显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.cc由及得，所以.abc30abc303abcc10c 由及得，所以.abc30abc302abcc15c 又因为为整数，所以. 5 分c1114c根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以222abc30cab30()4500abab， 10 分22(30)(30)4502 35ab因为均为整数且，所以只可能是解得15
12、分, a bab22305 ,302 3 ,ab5, 12.a b 所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为. 20 分13c 169 4二二 （本题满分（本题满分 25 分）分）如图，PA 为O 的切线，PBC 为O 的割线，ADOP 于点 D.证明：.2ADBD CD证明：证明：连接 OA，OB，OC. DPOABCOAAP，ADOP，由射影定理可得，. 5 分2PAPD PO2ADPD OD又由切割线定理可得，D、B、C、O 四点共圆，2PAPB PCPB PCPD PO10 分 PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD， 20 分，. 25 分PDBD CDOD2ADPD ODBD CD三三 （本题满分（本题满分 25 分）分）已知抛物线的顶点为 P，与轴的正半轴交于 A、B21 6yxbxc x1( ,0)x（）两点，与轴交于点 C，PA 是ABC 的外接圆的切线.设 M，若 AM/BC，2(,0)x12xxy3(0,)2求抛物线的解析式.解解 易求
