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1、第三章第三章 静态最优化理论初步静态最优化理论初步3.13.1 基本问题基本问题静态最优化要解决的基本问题是：静态最优化要解决的基本问题是：max( )f x i=1，2，m0)(. .x igtsj=1，2，n0)(xjh其中，f，gi，hj都定义在开集。f 称为目标函数，gi，hj称为约束条件。nRxnRD 无约束条件的优化问题称为无约束极值问题，带有约束条件的优化问题称为约束极值 问题。 最优化理论研究的主要内容：最优化理论研究的主要内容： 1） 解的存在性条件； 2） 近似算法。 处理存在性问题的常用方法：处理存在性问题的常用方法： Lagrange 方法； 基本定理基本定理 Kuhn
2、-Tucker 定理3.23.2 基础知识基础知识1） 梯度梯度 Tnxf xff),(1 LHesse 矩阵矩阵 ， i，j = 1，2，n jixxff2 2 222212222 221221221212nnnnnnxf xxf xxfxxf xf xxfxxf xxf xfLLLL2）凸分析初步）凸分析初步凸集的定义设 S 是 Rn空间中的一个子集，若对任意的，及任意的，有, x yS01(1)xyS则称 S 是 Rn空间中的凸集。 凸集的性质：凸集的性质： 1、 凸集的交集也是凸集； 2、 定义集合1 122 :,1,2, nniiiSz za xa xa xxS aR inLL称为的
3、线性和。设，都是 Rn空间中的凸集，则也是 Rn空间中的凸集；iSiS1,2,inL3、 设，都是 Rn空间中的凸集，则它们的笛卡尔积也是 Rn空间中的凸iS1,2,inL集。 凸函数和凹函数的定义：凸函数和凹函数的定义：定义：设 f 是定义在 Rn空间中的凸集 S 上的实值函数，若对和， , x yS01有(1) ( )(1) ( )fxyf xf y则称 f 是定义在 S 上的凹函数。若有(1) ( )(1) ( )fxyf xf y则称 f 是定义在 S 上的凸函数。若对任意的，上述不等 , x yS式都是严格的不等式，则称函数为严格凹 （凸）函数。 一元凸（凹）函数的几何意义是曲线上任
4、意两点的连线都在曲线的上（下）方。如图。注意： 1、 线性函数是唯一一个既是凹函数，有是凸函数的 函数。 2、 一个函数有无凸性，与它的定义域有关，如函数。sinyx凹函数的一些常用性质：1、 设 f 是定义在凸集 S 上的实值凹函数，则对于，集合aR 是凸集； :,( )x xS f xa2、 凹函数的非负线性组合仍是凹函数，即对于，若，0ia 1,2,ikLif* 123 5 1是凹函数，则也是凹函数；1,2,ikL1 122kka fa fa fL3、 设 S 是 Rn空间中的凸集，f 是 S 上的实值凹函数的必要充分条件是对任意正数 k，及任意的，且，有ixS0i121kL1 1221
5、122()()()()kkkkfxxxf xf xf xLL4、 设 S 是 Rn空间中的凸集，f 是 S 上的实值可微函数，f 是凹函数的必要充分条件是对任意的，01,x xS01010()()()x xfxxf xf xg5、 设 S 是 Rn空间中的开凸集，f 是 S 上的实值二阶可微实值函数，则i.f 在 S 上是凹的，当且仅当对，是半负定的；xS 2( )f xii.如果对，是负定的，则 f 在 S 上是严格凹的；xS 2( )f xiii.f 在 S 上是凸的，当且仅当对，是半正定的；xS 2( )f xiv.如果对，是正定的，则 f 在 S 上是严格凸的。xS 2( )f x设有
6、生产函数。其中，x 表示 n 个要素的投入量，y 表示单一产品的产出。( )yf x假设 f 是凹函数，则由性质 5，对，且，有01,nx xR01xx01010( )()()()x xf xxxf xf xg和10101( )()()()x xf xxxf xf xg取定 i，对任意的，令，然后，让 i 遍取 1，2，n，则有ji10jjxx。01 10()()()0ii iif xf xxxxxg设，则对，有10iixx1,2,inL01()()0iif xf x xx即 f 对每个变量的偏导数都是非增的。这说明如果生产函数是凹的，则任何要素的边际产 出都是非增的。特别地，若 f 是严格凹
7、函数，则任何要素的边际产出都是递减的。 如果 f 代表消费者的效用函数，则效用函数的凹性假设表明效用边际递减的特性。 若进一步假定生产（效用）函数是二阶可微的，则可直接得到产出（效用）的非增性质。 3）无约束极值问题）无约束极值问题一阶必要条件：；0)(*xf二阶充分条件：正定 极小；)(*2xf负定 极大。)(*2xf4）等式约束与）等式约束与 Lagrange 方法方法问题：)(minx f，i=1，2，m0)(. .x igts或者，令，则上面的问题可以改写为T mgg)(,),()(1xxxgL)(minx f0)(. .xg ts通常假设连续可微。设，令)(xgmR)()()(xgx
8、x, fL称为原问题的 Lagrange 函数。容易证明，L 的无约束极值点中的是原问题的约束极值点。),(*x*x证明该结论的基本思想：（为简化记号，以两个变量，一个约束为例） 设问题为),(minyxfz 0),(. .yxgts 假设由约束中可以将 y 解出来，记为 y = k（x） 。将它带入目标函数，有)(,(),(xkxfyxfz这样，就把约束极值问题转变为无约束极值问题了。根据极值的一阶必要条件，有0dxdy yf xf dxdz注意到，在隐函数中，y 对 x 导数为0),(yxgygxgdxdy带入上式，有0ygxgyf xf整理得并引入新记号ygufxgxf则极值点的必要条件
9、可以写为0 xg xf0 yg yf0),(yxg上面的三个式子正是 Lagrange 函数的偏导数。在 L 的最优解中，称是原问题的 Lagrange 乘子，在经济研究中，也称为影子价格。*影子价格的经济意义： 假设目标函数代表利润函数，约束条件表示需投入的资源及限额。则影子价格表示在 最优生产计划处，再增加一单位的资源所带来的利润。可以证明，是函数的极小值点，是函数的极大值点。一般来*x),(*xL*),(*xL说，设有函数，若点满足条件：)(y ,x F),(*y x)()()(*y ,x y , xy , xFFF则称是函数的鞍点。),(*y x( , )F x5）最大最小问题）最大最
10、小问题 在最优化理论中，我们要寻找最大值或最小值，但是，给出的条件仅仅是极值点的条 件。其原因如图。 为了保证极值点也是最值点，需要增加一个条件，即凸性假设。大多数极值点的必要条件，增加凸性条件后，就变成了必要充分条件了。3.33.3 有不等式约束的极值问题有不等式约束的极值问题记，mT mRggg)(,),(),()(21xxxxgL，pT pRhhh)(,),(),()(21xxxxhL则一般的最优化模型可以简写为)(minx f（P） 0)(. .xg ts0)(xh解决该问题的难点：极值点有可能在处取得。*x0)(*xig一阶一阶 Kuhn-Tucker 条件（必要条件）条件（必要条件
11、）设是问题（P）的解，在处可微，在处连续可微，*xg , f*xh*x线性独立，且存在，满足条件：若，则pjhj x*,2,1)(LnRz0)(*xig和，j = 1，2，p，则存在，使得0)(zx*ig0)(zx*jhmR*R0)()()(*xhxgxfi = 1，2，m （松弛条件）0)(*ixig0*在这里，也是影子价格。*,松弛条件的意义：松弛条件的意义：假设在处，这意味着在最优处，第 i 种资源有多余*x0)(*xig的。因此，影子价格为 0；若，这意味着在最优处，第 i 种资源是紧缺的，是0)(*xig一个瓶颈，故其影子价格大于 0。 例 1：)(minx f0)(. .xg ts
12、引入与无约束极值问题同样的 Lagrange 函数，则它的 T-K)()(),(xgxx fL条件是0 Lx0 Li = 1，2，m （松弛条0)(*ixig件）0*i例 2)(minx f0)(. .xg ts其 T-K 条件是0 Lx0 Li = 1，2，m （松弛条0)(*ixig件）0*i例 3)(maxx f0)(. .xg ts其 T-K 条件是0 Lx0 Li = 1，2，m （松弛条0)(*ixig件）0*i例 4)(maxx f0)(. .xg ts其 T-K 条件是0 Lx0 Li = 1，2，m （松弛条件）0)(*ixig0*i3.43.4 影子价格影子价格现在以线性规
13、划为例，解释影子价格的经济意义。 下列一对线性规划称为互为对偶的规划： xc min（A） bx Ats . . 0xby max（B） cy Ats . .0y在经济学中，互称为影子价格。yx, 例：某厂生产甲、乙两种产品，需要先后经过两种机床加工。甲产品在机床 1 上所需 加工工时为 3，在机床 2 上为 3；乙产品在机床 1 上所需加工工时为 1，在机床 2 上为 4； 机床 1、2 的可用工时分别为 48、120；甲、乙产品的利润分别为 5、6。 问题 1 甲、乙产品各生产多少，能使利润最大？ 问题 2 若将机床出租，问租金至少是多少？ 解：设产品产量为 x1，x2；机床租金 y1，y2。则上述两问题的数学模型分别为下列两 个线性规划：2165maxxx （A）483. .21 xxts 1204321 xx0,21xx2112048minyy （B）533. .21 yyts 6421yy0,21yy容易看出，模型（A）和模型（B）互为对偶。因此，某种资源的影子价格就是一单位 该资源的赢利能力。因此它具有价格特性，然而，这种价格不会出现在交易中，故称为影 子价格。
