锐角三角函数专项解析与训练(一)

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1、1锐角三角函数专项解析与训练（一）锐角三角函数专项解析与训练（一）例题精选例题精选 例例 1 如图，在的值ABCACBCD ABDABBC中于若求：,.sin901612 分析分析：要求放在某个直角三角形中，如图可知，sin，必须把中，根据锐角正弦概念，在Rt BCDsin 的对边 斜边，因此只需求 BD 即可此外，还可以发现， 即，sinBD BC 因此只要求出 A，sin,sinA 它就等于。解法一解法一：Rt ABCACBCD ABD中，于90 ,ABCCBD BCABBD BCAB BD BD BC21216 9 9 123 4 ，Qsin.解法二解法二：Q Rt ABCACB,90

2、ABCD ABDBA9090,Q于Rt ABCACBBCAB中，901216sin ABC AB12 163 4sinsin.A3 4小结小结： 求锐角三角函数值必须在直角三角形中求， 不论直角三角形如何放置，都应 能结合图形，灵活准确地运用三角函数概念另外，也应注意根据等角关系求三角函 数值例例 2 计算： （1）（2）tgtgctg223026045456030sincoscos,sin.3045 30245 tg ctgctg分析分析：特殊锐角的三角函数值必须熟练记忆计算时注意根式的运算，结果应化 简 解解：（1）tgtgctg223026045456030sincoscos 3 323

3、 22 213 33 21 36 213 33 4 7 126 23 322（2）sin3045 30245 tg ctgctg 1 2132 142 342 3 161223 2例例 3 化简：2（1）（2）1260602tgtg;sinsin,()221090其中分析分析：第（1）小题可化为，将()| |16016022tgaatg，根据公式可得代入即可进一步化简，第（2）小题同样可得，而tg60|sin|sin1，因的对边 斜边在直角三角形中， 斜边为最长边， 所以对于任何锐 角这个性质会经常用到，同理01sin,0 cos 1解解：（1）1260602tgtg ()|;16016013

4、312tgtg（2）sinsin221(sin)|sin|sinsin110900112Q原式例例 4 （1）已知： （2）求cos.sin.43 260726246 34 ，求tg ctg35 55 分析分析：本题所求都不是特殊锐角三角函数值，不能代入数值，但可发现角度间关系， 即 4326与 4634互余，35与 55也互余因此应考虑应用互余两角的三角函数关系解解：（1）26+4634=90,Q 43sin4634=cos4326=0.7262,（2）35+55=90tg ctgtg tg35 5535 351 .例例 5 已知：为锐角，且，求：和的值。sincos,3 5tgctg分析分

5、析：的对边为斜边为sin3 53 5，即的对边比斜边为，不妨设3k，则由勾股定理可求出，再根据锐角三角函数概念可求其余三角函5k，的邻边为4k数值 另外，同一个锐角的三角函数之间有平方关系，倒数关系和商的关系，利用它们可 以求其它三角函数，如根据，应注sincoscos ,221 ，可求进一步再求和tgctg意因为锐角三角函数都是正的，求开方时应取正值cos解解：Q sincos221 QQcossincoscossin222101为锐角 13 54 52tgctgtg sin cos.3 5 4 53 414 3小结小结：同角三角函数关系可用来从一个三角函数求其它的锐角三角函数要注意几 个公

6、式结合起来灵活运用3例例 6 计算：（1） （2）tgtgtgtgtg4143454749;12 2122 cos sin tgctg解解：（1） tgtgtgtgtg4143454749tgtgtgctgctgtgctgtgctgtg414345434141414343451()();（2）12 2122 cos sin tgctg sincoscos sinsincos sincos sincos .22222222222 211110 小结小结：在化简或计算时，应把互为余角的三角函数关系和同角三角函数关系结合起 来考虑而且应灵活运用，如有时也须把 1 化成，以sincos,221sinc

7、os22便化简或计算，这应结合题目具体情况例例 7 不求值，判断式子的符号： (coscos)()25504055tgtg分析分析：要判断两式乘积的符号，只需知道这两个式子是正是负，而这两个式子又是 两个三角函数式的差，要判断两数差是正是负，应知道两数谁大谁小这就根据三角 函数的增减性判断 解解：锐角的余弦值随角度的增大而减小，Q 25502550 ,coscos,cos25 而锐角的正切值随角度的增大而增大，cos500。Q 40554055，tgtg tgtg40550。(coscos)2550405500000tgtg例例 8 选择题： 已知（ ）为锐角，则 的范围是cos.,075AB

8、CD030304545606090分析分析：我们知道根据锐角三角函数的增减性，cos,cos,cos,303 2452 2601 2要判断的范围，只需知道的余弦值的位置解解：Q cos,cos303 2452 2而2 20753 2.3045 因此选 B 答案：答案：B例例 9 查表求值：（1）（2）；（3）；sin;51 12sin18 41cos59 42 （4）cos25 17 分析分析：查表时应注意锐角三角函数的增减性，尤其查余弦值时，应看右边和下边， 而且角度每增加 1，余弦值相应减小 解解：（1）sin5112=0.7793； （2）sin1842=0.3206角度减 1值减 0.

9、0003sin1841=0.3203;4（3）cos5942=0.5045; （4）cos2518=0.9041角度减 1，值增 0.0001cos2517=0.9042 小结小结：查余弦时，也可以利用互为余角的三角函数关系，改为查正弦值，如查 cos5942可以改查 sin3018，查 cos2517可以改查 sin6443，从而避免查表过程中可 能出的错误例例 10 已知下列正弦值或余弦值，求锐角 A （1）sinA=0.7782;（2）sinA=0.6110;（3）cosA=0.6374;（4）cosA=0.8622. 分析分析：第（1）、（3）小题，在表中可以直接查到 0.7782 和

10、 0.6374，反查即可求 出，应注意余弦看右边和下边第（2）、（4）小题则先在表中查得与之最近的数，A 如 0.6115 和 0.8625，再利用修正表和锐角三角函数增减性查得，同样应注意余弦A 值随角度的增加而减小 解解：（1）查表得 sin516=0.7782, 锐角 A=516； （2）查表得 sin3742=0.6115, 即 0.6115=sin3742 值减 0.0005，角度减 20.6110=sin3740 锐角 A=3740（3）查表得 cos5024=0.6374. 锐角 A=5024; （4）查表得 cos3024=0.8625, 即 0.8625=cos3024 值减

11、 0.0003，角度增 20.8622=cos3026 锐角 A=3026. 小结小结：也可利用互余两角的三角函数关系，将余弦改为正弦来查如可查 sinB=0.6374,而锐角 A=90锐角 B例例 11 查表求值： （1）tg5424; （2）tg8143; （3）ctg1930; （4）ctg6135 分析分析：查正余切表方法与正余弦表类似，同样在查余切时应注意看右边和下边，同 时，锐角的余切也随角度的增大而减小，在利用修正表时应注意解解：（1）tg5424=1.3968; （2）tg8142=6.855; （3）ctg1930=2.824;（4）ctg6136=0.5407 角度减 1

12、值减 0.0004ctg6135=0.5403. 小结小结：（1）正余切表与正余弦表略有不同，如从 76到 90每差 1各角的正切和 0 到 14每差 1各角的余切可从表上直接查到，如第（2）小题 （2）由于锐角的正余弦值都在 0 与 1 之间，所以正余弦表中整数部分都是 0，但 正余切不是这样，当角度大于 45时，它的正切值就大于 1，当角度小于 45时，它的 余切值大于 1，所以查表时，应注意整数部分应该是多少，如第（1）小题 （3）和余弦类似，查余切时可以利用互为余角的三角函数关系改为正切，从而避 免一些错误例例 12 已知下列正切或余切值，求锐角 A （1）tgA=12.47；（2）t

13、gA=2.324；（3）ctgA=0.5612； （4）ctgA=2.340 分析分析：本题方法与例 10 类似，应注意反查余切时，余切值越大则角度越小 解解：（1）查表得：tg8525=12.47，锐角 A=8525；5（2）查表得：tg6642=2.322， 即 2.322=tg6642 值增 0.002 ， 角度增 1 2.324=tg6643， 即锐角 A=6643 （3）查表得：ctg6042=0.5612，锐角 A=6042； （4）查表得：ctg236=2.344， 即 2.344=ctg236 值减 0.004 角度增 2 2.340=ctg238， 锐角 A=238 小结小结

14、：同样可以利用互余两角的三角函数关系改为正切来查，如第（3）题可查得 tg2918=0.5612，则所求锐角 A 为 902918=6042例例 13 已知：， 解下列问Rt ABCCABCabc中，为直角，、的对边分别为 、 、题：（1）已知：abA5 215 2,，求；（2）已知：（保留两个有效数字）BCa501，求分析分析：第（1）小题，知道两边即可求的某一个锐角三角函数值（两边的比值）A ，再通过查表可求第（2）小题，知，则可查表求的三角函数值，AB50B 因为已知边，已知它们分别为斜边和的邻边，所以最好选择 cosBca边，求B解解：（1）Q Rt ABCC中，为直角，tgAa baba btgAAQ5 215 2 5 2 15 23 33 3