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1、阿基米德螺阿基米德螺线线浅析浅析作者:姜荣 200911181013 环境学院 09 级 黄鲁霞 200911181004 环境学院09 级 荣镭 200911181017 环境学院 09 级 摘要摘要:本文就自然界中阿基米德螺线的存在，探讨了它的产生、原理、性质。并对阿基米德螺线在生活中的应用进行了说明。关关键词键词：阿基米德螺线 产生 原理 性质 应用Abstract：This paper mainly discuss the cause, the principium and the habitude of Archimedes spiral because of its existen
2、ce in nature. In addition, we make some introductions to its application in our daily life.Key words: Archimedes spiral cause principium habitude application引言引言:阿基米德与阿基米德螺线 Archimedes（阿基米德）是古希腊数学家、力学家。他在数学、物理方面都有极高的成就。公元前 287 年，阿基米德出生于西西里岛(Sicilia)的叙拉古(Syracuse)(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富
3、有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城，跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习，他以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。阿基米德在亚历山大学习和生活了许多年，曾跟很多学者密切交往。他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。在他学习天文学时，发明了用水利推动的星球仪，并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。公元前 212 年，古罗马军队攻陷叙拉古，正在聚精会神研究科学问题的阿基米德，不幸被蛮横的罗马士兵杀死，终年七十五岁。阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切
4、球的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献。据说为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，它发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。阿基米德在论螺线一书中明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。一一、自然界中的阿基米德螺线现象1.1 神奇的蜘蛛网蜘蛛是地球上古老的节肢动物之一。它们的生活历程可以追溯到 2 亿年以前，并且至今仍然保存着一个庞大的家族。蜘蛛网是由部分种类的蜘蛛吐丝所编成的网状物，用以捕获昆虫、小型脊椎动物等作食物，或用以结巢居住。蜘蛛网堪称蜘蛛巧夺天工的杰作，经过上亿年的演化，现在的蜘蛛网不仅有不可比拟的强度和韧性还具精美的几何图形。其中蜘蛛丝的捕食丝是由外向网心开始铺设有
5、黏性的捕食螺线所铺设的捕食螺线其间的距离是相等的。就是本文所说的阿阿基基米米德德螺螺线线。1.2 扑火的飞蛾在亿万年前,没有人造火光 ,飞蛾完全靠天然光源日光 、月光 或星光指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远 ,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的阿阿基基米米德德螺螺线线。1.3 太极图国学中的阴阳具有多重含义，是一类特殊矛盾。从黄赤交角造成的四季光照度变化中可以看出太极图中的曲
6、线是两条阿基米德螺线。四季的阴阳无限等分变化图在四季的阴阳无限等分变化图中，以圆心为极点,以极点到夏至的方向为极轴的正方向建立极坐标系,则阴、阳的大小 与时间 之间有数据对应关系。显然，这是两条阿阿基基米米德德螺螺线线。二二、 、模模型型的的建建立立2.1 阿基米德螺线（亦称等速螺线）是指当一点 P 沿动射线 OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点 O 旋转，则点 P的轨迹称为“阿基米德螺线”。从物理的角度来说，阿基米德螺线是匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，其图形如下：阿基米德螺线的一般方程中是：a在极坐标体系中，阿基米德螺线的方程是：= a (a=const)即在坐标中，阿基米德螺
7、线上的点距原点的距离与从极轴OX 转过的角度成正比例。阿基米德螺线的螺距是一个常数2a,(即当=2 时，r=2a)。其证明是：r=a, r=a(+2)则 r=r-r=2a。所以要判定一个螺旋图形是否为阿基米德螺线，就可以看其在平面内是否符合 r = a 的等式。2.2 阿基米德螺线规阿基米德螺线在理论研究上或是在实际应用中都是十分重要的。我们在教学这一内容时,为了使学生对此曲线的特性有深刻的直观印象,设计了能绘制这一曲线的教具一一阿基米德螺线演示规。设动点开始运动时离定点 O 的距离为，即初始位置是0，M 在 l 上的运动速度 v,l 绕 O 点转动的角速度为，经过时00(,0)M间 t,转过
8、角度 ,动点到达的位置为( , )M 则有(1)0vt及(2)t由(1)(2)消去 t 得,设则有。这00vtv (0)va00a就是阿基米德螺线的极坐标方程。若，是螺线上的任意两点，则由111(,)M 222(,)M 0a，可得。这表明，当动点沿阿基101a202a2121()a米德螺线图线移动时,它的极半径的改变量与极角的改变量21成正比的,因此阿基米德螺线也可看成是动点的极半径改变量与21它的极角改变量成正比的点的轨迹。阿基米德螺线演示规就是根据这一特性来制作的。三三、 、阿阿基基米米德德螺螺线线的的性性质质3.1若点（）在曲线上，则点（）在曲线上，, a,a 则这两支曲线关于线对称。特
9、别是（图 1）当时，阿基米德螺线2可以画出关于的对称部分。a23.2 若，则有 ，即 1a1(2)nan()nZ112nn a.因而（图 2）过极点 O 的每一条射线都被阿基米德螺线截成了()nZ无穷多个线段，从第二个线段起，每个线段长度都是。2a3.3 若，令，则有。从而（图 3）一般的阿基米aaa德螺线都可由过极点的、有相同系数的螺线截得。四四、 、阿阿基基米米德德螺螺线线的的应应用用4.1 蜗壳入口旋流器蜗壳是将液流的直线运动变为圆周运动的转换器。既要使悬浮液顺畅地进入旋流状态，又要使进入旋流状态的过渡沿程损失小，要求旋流器蜗壳内壁曲线连接光滑而没有拐点，曲率中心在同一侧，这样沿程损失能
10、量小旋流器的效率高。阿基米德螺线多被用于蜗壳入口，被运用于此有其独特的意义。4.1.1 蜗壳入口部分的低压力耗散由水力学得知，局部水头损失 h 一般表述为：式中：为局部水头损失系数； 为流速；g 为重力加速度。4.1.2 阿基米德螺线入口蜗壳的水头损失蜗壳结构以极坐标形式表示为阿基米德螺线a为极坐标半径， 为极角， 为由 A 点计算之所对应的极角；a 为参数对图 2 的结构，当时，于是有，故有，21R12Ra1/ 2aR则方程 4 变为1(/ 2 )R 式中：为曲率半径；。1R2现在，我们来计算阿基米德螺线入口阻力系数。将曲线 AB 相对应的圆心角等分成 n 个角度，每一个记作，则每一个圆心角
11、所对应的极半径可以根据公式求出：1(/ 2 )(2)Rn 式中：，n 为相对应的极半径的的个数。因此可求出曲/ n线 AB 的平均半径：0R01 11(1/ 2)niRRnnn 将代人 4（3），即可求出曲线 AB 的阻力系数的近似值。0R4.1.3 切线入口与阿基米德螺线入口的阻力系数大小比较假如， 入口高度/ 21180Rmm100Hmm3.51000.131 0.1631801/22/ 20.1518 如果是阿基米德螺线入口，假定将 等分成 10 份代人公式 6 中，其平均极半径为1/2 0180122/ 21(1)()0.1443104040R 由此可见，在此条件下采用阿基米德螺线入口
12、，将降低入口阻力。4.2 阿基米德螺线蜗杆的车削4.2.1 已知参数：（如图 2 所示）蜗杆型式：阿基米德螺线（ZA 蜗杆）法向模数 ;头数 z=30.8nm 齿形角； 导程角2051140齿项圆直径左旋，轴向齿距公差为；1028.10.11dpxf0.01齿形误差为 0.016. 、1ff4.2.2 计算结果如下蜗杆端面模数:0.8033cosn xmm蜗杆轴向齿距:2.5236xxpm蜗杆直径系数:33xDZqtg蜗杆分圆直径：126.5088xdmq蜗杆顶圆直径：11026.5088228.10.11dh蜗杆齿顶高：10.7956h蜗杆根圆直径：1112()25.2389fddhC蜗杆齿
13、根高：110.95630.20.1607fxhhCCm所以：蜗杆齿全高：1.7519h 蜗杆轴向齿厚：1.26180.7956200.2896 20.5792 1.26180.57920.6826xSXtg X 图所以取 ZA 蜗杆车刀头部宽度为，如图 3 所示。取刀具00.68260.05前角。5 2当刀具使用一段时间后刀刃变钝，需进行修磨计算。由于刀具前角不是很大，修磨计算可省略。通过使用该刀具，原来一天车 34 个，现在工效提高 23 倍，该刀具可进行多次重磨，耐用度提高，并且因刀具采用了大拐弯及中间弹簧圆柱销等缓冲结构，具有抗冲击及消振的作用，增强了刀具在切削过程中的稳定性，提高了零件
14、的精度及光洁度； 因而在加工蜗杆类零件而又没有专用机床时该方法有一定的参考价值。4.3 三爪卡盘自动定心原理车床的基本工作原理是,使被加工的工件随同车床主轴一起旋转,操作者操纵刀架而移动刀具去切削工件,从而获得预期的工件形状。卡盘本身半固装于主轴，同时用它的几个可调节爪夹住工件。三爪卡盘三个相互联动的卡爪，能同时等距离地向心（或离心）移动。在卡棒料（圆柱状坯件）或六方料（六棱柱状坯件）时,能使工件轴线与机床主轴轴线自动重合,因此它有自动定心的特点。兰爪卡盘的主要结构如图，外壳上互成角的位置上,开有三条透120槽,三个卡爪可在其中做径向移动。卡爪的背面制有牙纹,卡爪以此牙纹与内部一圆盘咬合。圆盐
15、正面上制有一条平面螺纹,其形状是阿基米德螺线工人师付称为“盘肠扣”。卡爪牙纹形状也是相应的阿基米德螺线,因此可以咬合。如果保持外壳不动,从外面用扳手旋转小伞形轮,则带动大伞形轮绕卡盘轴线（即机床主轴轴线）转动,这时大伞形轮正面的阿基米德螺线也要转动。这样,与之咬合的卡爪,一方面受平面螺纹（阿基米德螺线）的推动,另一方面又受到不动外壳上槽口的限制,所以只能做径向移动。现在需要说明的是,扳动小伞齿轮时为什么三个卡爪的径向位移总是相等的？这要从阿基米螺线的方程说起。因为( )rrk所以：drkd于是()( )rrrk 这就是说，不论在螺线上的什么位置，当点回的极角 有一个增量时，极径的增量总是它( )的 k 倍。在卡盘上；扳动伞齿一个角度,等于使各个卡爪都得到相同的极角增量 ,所以它们的径向位移也必是相等的。由此可知,三爪卡盘上三个卡爪的径向等距移动,这个特点是由于圆盘上的阿基米德螺线的基本性质而造成的。就是说,三爪卡盘
