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1、 1 / 4组合初步组合初步第一部分第一部分 排列组合基础问题排列组合基础问题基础练习基础练习 1、由 0,1,2,3,4,5 可以组成 个没有重复数字五位奇数. 2、 8 人围桌而坐,共有 种坐法. 3、用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,在两个奇数之间,这样 的五位数有 个. 4、有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有 种分配方案. 5、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取法有 种. 6、 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有 分法. 7、在一次演唱会上
2、共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人 伴舞的节目,有 选派方法. 8、 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有 种. 9、设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有 投法. 10、 25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有 种.
3、例题例题1、设从 S 中任取 4 个不同的数，按照从小到大的顺序排成一个S=1,2,3499,500，公比为正整数的等比数列，求这样的等比数列的个数。2、从名乒乓选手中选拔出 3 对选手准备参加双打比赛比赛，问有多少种不同的方(6)n n 法？3、6 位女同学和 15 位男同学围成一圈跳集体舞，要求每两位女同学之间至少有两名男同学，那么共有多少种不同的围圈跳舞的方法？4、求各位数字之和等于 11 的 3 位数的个数。5、人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不35 同的传球方式有多少种？6、7 人站成一排 ,其中甲、乙相邻且甲、丙不相邻, 共有多少种不同
4、的排法. 2 / 454321BA练习练习1、有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各 字母均有且三色齐备,则共有 种不同的取法. 2、某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 . 3、10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有 排法. 4、6 颗颜色不同的钻石，可穿成 种钻石圈. 5、10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一个，有 种装法. 6、，这个方程组的自然数解的组数为 .100xyzw 7、将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个
5、队, 有 种分法. 8、10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有 种不同的分组方法. 9、 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任 选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有 乘船方法. 10、某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位， 那么不同的坐法有 种. 11、同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺 年卡不同的分配方式有 种. 12、给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可
6、选颜色, 则不同的着色方法有 种.13、某城市的街区由 12 个全等的 矩形区组成其中实线表示马路， 从 A 走到 B 的最短路径有 种.14、用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 . 15、分别编有 1，2，3，4，5 号码的人与椅， 其中 号人不坐 号椅（）的不同坐法有 ii54321,i 种.第二部分第二部分 概率竞赛题选讲概率竞赛题选讲1、将编号为 1,2，9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有 一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的 概率.（
7、注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放 法）2、一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：（）某人在这项游戏中最多能过几关？（）他连过前2n 三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有 1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方 体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。 ）3 / 4第三部分第三部分 排列组合竞赛题选讲排列组合竞赛题选讲1、设 M1，2，2008是前 2008 个正整数组成的集合，A1a，2a，30a是 M 的一个 30 元子集，已知 A 中的元素两两互质，证
8、明 A 中至少一半元素是质数2、已知 A 与 B 是集合1，2，3，100的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数相同，且 AB 为空集，若 nA 时总有 2n+2B，则集合 AB 的元素个数最多为多少？分析：该问题是组合构造，由条件“A 与 B 的元素个数相同且若 nA 时总有 2n+2B”知|A|B|，且 2n+2100，从而可知 A 中的元素不超过 49 个，为此需要进行分类考虑3、设 M1，2，65 ，AM 为子集，若|A|33，且存在 x ，yA，xy，x | y，则称 A 为“好集”，求最大的 aM，使含 a 的任意 33 元子集为好集4、一个 20 行若干列的 0、1 数阵满足：
9、各列互不相同且任意两列同一行都取 1 的行数不超过 2求当列数最多时，数阵中 1 的个数的最小值5、将 3k（k 为正整数）个石子分成五堆，如果通过每次从其中 3 堆中各取走一个石子，而最后取完，则称这样的分法是“和谐的”，试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明4 / 46、在坐标平面上是否存在一个含有无穷多条直线1l，2l，nl，的直线族，满足条件：（1）点（1，1）nl，n 1，2，3，；（2）1nk nanb，其1nk中是1nl的斜率，na和nb分别是nl在 x 轴和 y 轴上的截距，1k是1l的斜率，n 1，2，3，；（3）1nnkk0，n 1，2，3，并证明你的结论7、一个空间中的
10、点组成的集合满足性质：中任意两点之间的距离互不相同，假设中的点的坐标（x，y，z）都是整数，并且 x，y，z n，证明：集合 S 的元素个数小于min（n+2）3n，6n8、有七种颜色的珍珠，共计 14 颗，其中每种颜色的珍珠各两颗；今把这珍珠分装于七个珠盒中，使得每个珠盒中各有一对不同颜色的珍珠（1）证明：不论各盒中的珍珠怎样搭配，总可以将这七个珠盒分别放置于一个正七边形的七个顶点之上，使得七边形的任两个相邻顶点处所放置的盒中的四颗珍珠互不同色（2）如将以上条件与待证结论中的“七”一律改为“五”， “14”改为“10”，则情况如何？9、六个面分别写上 1，2，3，4，5，6 的正方体叫做骰子。问 （1）共有多少种不同的骰子； （2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变 差 V。在所有的骰子中，求 V 的最大值和最小值。
