最详细全面六年级奥数_数论教师版word

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1、 第第 5 5 讲讲数论数论( (一一) ) )教学目标教学目标数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密， 但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、 约数个数定理、约数和定理、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等辗转相除法等. . 本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和本讲内

2、容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和 倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻. .专题回顾专题回顾【例例 1】 一个一个 5 位数，它的各位数字和为位数，它的各位数字和为 43，且能被，且能被 11 整除，求所有满足条件的整除，求所有满足条件的 5 位数位数 【现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被 11 整除，但我们发现被 11 整除性 质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手

3、5 位数数字和最大的为 95=45，这样 43 的可能性只有 9，9，9，9，7 或 9，9，9，8，8这样我们接 着用 11 的整除特征，发现符合条件的有 99979，97999，98989【例例 2】 2】已知已知是一个四位数，若两位数是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个质数，是一个完全平方数，是一个完全平方数，是一个质数是一个质数ABCAABBCCA 与一个不为与一个不为 的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_._.1【分析分析】本题综合利用数论知识，因为是一个质数，所以不能为偶数，且同时是一个完全平方数，ABBBC则符合条件的数仅为、

4、，当时，满足是一个质数的数有，时，此16361B AB1131416171时同时保证是一个质数与一个不为 的完全平方数之积，只有符合；CA13163当，满足是一个质数的数有，此时同时保证是一个质数与3B AB132343537383CA 一个不为 的完全平方数之积，只有符合18368专题精讲专题精讲分解质因数【例例 1】 1】个连续的自然数之和为个连续的自然数之和为，若，若、都是质数，则都是质数，则的最小值的最小值2001abcd abcdabcd 是多少？是多少？ 【遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言设这个连续自然数中最小的一个是，则2001A 最大的一个是(遇到多个连续自然数问题，

5、转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题2000A 目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是：，则是质数，所以的最2000 2001100020011000323292AAAA 1000AA小值是的最小值是：.9abcd1009323291064拓展拓展101 个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_ 【设这个自然数中最小的数为，则 101 个连续自然数的和为： 101a+(+1)+(+2)+(+100)aaaa =(+100)1012=(+50)101aaa 因为 101 是质数，所以+50

6、 必须是 3 个质数的乘积，要使和最小a 经检验+50=66=2311 最小，所以和最小为 66101=6666a铺垫铺垫已知已知=，其中，其中、分别表示不同的数字，那么分别表示不同的数字，那么 四位数四位数是多少？是多少？ 【因为，所以在题述等式的两边同时约去即得作质1010110101 因数分解得，由此可知该数分解为 个两位数乘积的方法仅101013 7 13 37 3 有注意到两位数的十位数字和个位数字分别在另外的两位数和中出现，21 13 37 所以=，=，=即=，= ，= ，=，所求的四位数是13372171327132【例例 2】为自然数，且为自然数，且，、与与 690 都有大于都

7、有大于 l 的公约数的公约数的最小值为的最小值为N1N 2N 9N N _ 【，连续 9 个数中，最多有 5 个是 2 的倍数，也有可能有 4 个是 2 的倍数，69023 523 如果有 5 个连续奇数，这 5 个连续奇数中最多有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数，所 以必然有一个数不是 2、3、5、23 的倍数，即与 690 没有大于 l 的公约数 所以 9 个数中只有 4 个奇数，这个数中，有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数，则、1N 、是偶数，剩下的 4 个数中、是 3 的倍数（5 个偶数当中只3N 5N 7N 9N 2N 8N

8、 有是 3 的倍数），还有、一个是 5 的倍数，一个是 23 的倍数.5N 4N 6N 剩下的可以用中国剩余定理求解，是 2 和 3 的倍数，且相邻两个数中一个是 23 的倍数，另5N 一个是 5 的倍数，显然是最小解，所以的最小值为 19524N N约数、倍数【例例 3】 已知，甲乙两数的最小公倍数是已知，甲乙两数的最小公倍数是 288，最大公约数是，最大公约数是 4，甲乙两数不是，甲乙两数不是 288 和和 4 中的数，那么甲中的数，那么甲 乙两数的乘积为多少乙两数的乘积为多少?和为多少和为多少? 【设甲乙两个数为，(和都不等于 1 或 72),则，两数互质，于是，的最小公倍数4x4yxy

9、xy4x4y为，所以，由于，互质，所以或 不可能在，的因子中都4xy288724xy 327223xy23xy出现，所以，一个是 一个是，所以两数的乘积等于，和为xy8944441152yxxy.4448968xy【例例 4】 有有 15 位同学，每位同学都有编号，它们是位同学，每位同学都有编号，它们是 1 号到号到 15 号号1 号同学写了一个自然数，号同学写了一个自然数，2 号说：号说： “这个数能被这个数能被 2 整除整除”，3 号说号说“这个数能被这个数能被 3 整除整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能，依次下去，每位同学都说，这个数能 被他的编号数整除，被他的编号数整除，1 号作

10、了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问： 说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你，如果告诉你，1 号写的数是五位数，号写的数是五位数， 请求出这个数请求出这个数 【首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对不然，其中说的不对的编号乘以2 后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合因此，这个数 能被2，3，4，5，6，7都整除 其次利用整除性质可知，这个数也能被25，34，27都整除，即编号

11、为10，12，14的同学说的也 对从而可以断定说的不对的编号只能是8和9 这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数， 由于上述十二个数的最小公倍数是60060， 因为 60060 是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以 1 号同学写的数就是 60060拓展拓展一个两位数有一个两位数有 6 个约数，且这个数最小的个约数，且这个数最小的 3 个约数和为个约数和为 10，那么此数为几？，那么此数为几？ 【最小的三个约数中必然包括约数 1，除去 1 以外另外两个约数和是 9，由于 9 是 1 个奇数，所以这 两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一

12、个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一 定是 2 的倍数，即 2 是它的约数于是显然的，2 是这个数第二小的约数，而第三小的约数是 7，所 以这个两位数是 14 的倍数，由于这个两位数的约数中不含 3、4、5、6，所以这个数只能是 14 或 98，其中有 6 个约数的是 98约数个数定理：约数个数定理： 设自然数设自然数的质因子分解式如的质因子分解式如. .n312 123naaaa nppppL那么那么的约数个数为的约数个数为n 1231111nd naaaaL自然数自然数的约数和为的约数和为n 1122112121 1111222211aaaaS nPPPPPPPPLLL1211nnaa

13、 nnnnPPPPLL【例例 5】 5】两数乘积为两数乘积为，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多 ，那么这两个数分别，那么这两个数分别28001 是是_、_ 【，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多 ，所以这两个数中有一个数4228002571 的约数为奇数个，这个数为完全平方数故这个数只能为、或经检验，22422522254225 只有两数分别为和时符合条件，所以这两个数分别是和4225716175铺垫铺垫在三位数中，恰好有在三位数中，恰好有个约数的数有多少个？个约数的数有多少个？9 【，91 93 3 所以个约数的数可以表示

14、为一个质数的 次方，98 或者两个不同质数的平方的乘积， 前者在三位数中只有符合条件，后者中符合条件有、,256100196484676225441 所以符合条件的有个.7【例例 6】 两个整数两个整数、的最大公约数是的最大公约数是，最小公倍数是，最小公倍数是，并且已知，并且已知不等于不等于 ，也不等于，也不等于或或，ABCDC1AB ，那么，那么等于多少？等于多少？187CDAB 【最大公约数，当然是最小公倍数的约数，因此是的约数，不等于 1，只CDC18718711 17C 能是或者如果，那么和都是的约数，和不11C 17C 11C 18711176D AB176AB 能是 11，只能是 22，44，88，176 这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都 不是 11，由此得出不能是 11现在考虑，那么，和是 170 的约数，C17C 18717170D AB 又要是 17 的倍数，有，三个数，其中只有 34 和 85 的最大公约数是 17，因此，和3485170A 分别是 34 和 85，B3485119AB【例例 7】 已知已知是一个有是一个有 12 个约数的合数，个约数的合数，、有有 24 个约数，个约数，有有 40 个约数，求个约数，求有多少个有多少个A8A10A12A15A 约数？约数？ 【设，中不含有 2、3、5 因子，235abcAd