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1、怎样理解怎样理解向量的投影与投影向量向量的投影与投影向量？（图）（图） 矢量是最通常的向量，是指既有大小又有方向的量。比如物理学上的力、位移、速度、加速度等。矢量通常用加粗的字母表示。还有许多物理量只有大小而没有方向，或我们对其方向性不感兴趣，这就是我们最常见的数或数量，在数学上称之为标量。比如物体的质量、密度、长度、面积、体积、能量、功、功率等。标量通常用不加粗的字母表示。为了研究现代数学空间与张量的概念，有必要先搞清矢量投影的实质含义。 一、矢量投影的实例一、矢量投影的实例 设原位置在 O 点的物体，在外力 F 的作用下发生的位移为矢量 S，那么外力所做的功为多少呢？如果外力的方向与位移的
2、方向一致，则所做的功为 但一般情况下两个矢量之间存在夹角为 （取值在 0 弧度范围），如下图所示： 图 1 矢量的投影 则应先求出外力 F 在位移 S 方向上的投影 再根据前面的公式求出外力所做的功 由上例可见：一个矢量在另一个矢量上的投影是个标量，大小等于该矢量的模与两矢量夹角余弦的乘积。 二、矢量投影的定义二、矢量投影的定义 数学上的投影概念来源于实践。 设想与矢量 S 方向垂直的一束平行光线， 照射在矢量 F 上，在 OS 直线上形成了一段影子，记为 OF，这个影子线段 OF就是矢量 F 在矢量 S 方向上的投影。如下图所示： 图 2 矢量投影的概念 根据上述意义，矢量 F 在矢量 S
3、上的投影定义为 其中 为两个矢量之间的夹角。 由投影的定义可见：投影 Fs与目标矢量 S 的大小无关，但与目标矢量 S 的方向有关，体现在两矢量的夹角 上。如果夹角是锐角，投影为正实数；如果夹角为钝角，投影为负实数；如果夹角为直角，投影为 0，即一个点。 注意：既然投影的概念涉及到夹角余弦，则投影的“光线”必须与投影所在的直线（或目标矢量）垂直。这一点在张量空间的研究中非常重要。 三、矢量的点积三、矢量的点积 一般地，任意两个矢量 a 和 b 的点积定义为 其中 为两个矢量的夹角。如下图所示： 图 3 矢量的点积 可见两个矢量的点积也是个数量（标量），数值上等于其中一个矢量的模与另一个矢量在其
4、上的投影的乘积。即 例如：上例图中外力所做的功，就是力和位移两个矢量的点积 注意：点积是符合交换律的。即 但投影不符合交换律，必须指明谁对谁上的投影。即一般情况下 四、矢量投影与点积的关系四、矢量投影与点积的关系 众所周知，模（长度）为 1 的矢量叫做单位矢量单位矢量，记为 u。即有 根据矢量点积的定义， 如果一个任意矢量 a 与一个单位矢量 u 点乘， 则其点积等于矢量 a 在单位矢量 u 上的投影。即 如下图所示： 图 4 矢量在单位矢量上的投影 比较矢量投影的定义可知，任一矢量 a 在另一个矢量 b 上的投影，实质上就是矢量 a 与目标矢量 b 方向上单位矢量的点积。所以投影与目标矢量
5、b 的长度无关，但与 b 的方向有关。即 其中 为目标矢量 b 方向上的单位矢量。即。 五、向量的投影五、向量的投影 向量是一组有规则的数（分量），或曰有序 n 元组，可以理解为矢量概念的推广和抽象。上述有关矢量的一切属性和理论，对于向量都普遍适用。 一般地，在欧氏空间中，任意两个向量的点积定义为 其中 叫做度规张量度规张量，是欧氏空间的度量衡。表现形式取决于我们观测时所选取的坐标系（坐标基矢的长度及各基矢间的夹角）。 注意：坐标基矢之间的夹角是坐标系的固有属性，与两个任意向量之间的夹角是不同的。上式中的哑标不求和，仅表示度规张量的一个分量。 一个向量在另一个向量上的投影也仍然可以定义为 其中
6、 为目标向量 b 方向上的单位向量。即。 比较点积的定义可知，一个向量 a 在另一个向量 b 上的投影是一个标量，实质上就是向量 a 与目标向量 b 方向上单位矢量的点积。 所以投影与目标向量 b的长度无关，但与 b 的方向有关。 六、投影向量六、投影向量 向量的投影是一个标量。但在有些场合（比如并矢概念的来源）需要使用到投影向量投影向量的概念。所谓投影向量，就是用投影和目标向量方向的单位向量共同组成的一个新的向量。 一般地，在欧氏空间中，投影向量定义为 其中下标 b 不是哑标，不表示求和，而仅仅表示投影的目标向量是 b。 注意： 投影向量与向量的投影不是同一个概念。 投影向量是一个向量， 其 “长度” 是投影 （标量） ， 其方向就是目标向量 b 的方向。 而向量的投影是一个标量，是一个向量与另一个单位向量的点积。也可以说，投影是投影向量在该单位向量（方向与投影目标向量一致）下分解的分量。 如果投影的目标向量 b 是坐标系的一个基矢，那么任一向量 a 在坐标基矢上的投影是不是等于向量 a 在该坐标基矢下的坐标分量 ai呢？且听周法哲下回分解。 （作者：周法哲（作者：周法哲 2009-12-20 于珠海）于珠海）
