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1、等差数列与等比数列的性质- 1 -等差数列等差数列等差数列的概念等差数列的概念定定 义义 式：式：，或.*), 2(1Nnnddaann为常数，*)(1Nndaann递递 推推 式：式：.*)(1Nndaann等差中项：等差中项：任何两个数都有且仅有一个等差中项.ba,A2baA通项公式：通项公式：，（广义）.dnaan) 1(1dmnaamn)( 特征：特征：，其中. .bknandabdk1,前前 n n 项和：项和：.dnnnadnnnanaaSnn n2) 1( 2) 1( 2)(11特征：特征：，其中. .BnAnSn2 2,21daBdA注：注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中
2、项、等差数列通项公式的特征、前 n 项和的特征，都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式.2.对任何数列，都有 .*, 2 , 1 ,11 NnnSSnSannn等差数列的性质等差数列的性质1. 若为等差数列，则. nadmnaamn)( *),(Nnm2. 若为等差数列，且，则. na*),(Nqpnmqpnmqpnmaaaa3. 若为等差数列， ，则. na项数中间项 ) 12(12naSnn4. 若等差数列共有项，则； . na12 n中偶奇aSSnn SS1偶奇5. 若等差数列共有项，则；. nan2ndSS奇偶 nn aa SS1奇偶等差数列与等比数列的
3、性质- 2 -6. 若为各项均不为零的等差数列，前 n 项和为，则. na,nS12121212 nm SS aamnmn7. 若、均为各项非零的等差数列，前 n 项和分别为，则. na nbnnTS ,1212nnnn TS ba8. 在等差数列中，若，则. na)(,nmmananm0nma9. 在等差数列中，若，则. na)(,nmmSnSnm)(nmSnm10.在等差数列中，若，则. na)(nmSSnm0nmS11.若为等差数列，则仍为等差数列，其中和是常数. nabkankb12.若、为等差数列，则仍为等差数列. na nbnnba 13.若为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列
4、，即：若为等差数列，为 na na nb正整数等差数列，则为等差数列. nba14.为数列的前 n 项和，则为等差数列为等差数列.nS na na nSn15.若为等差数列，则依次项和仍为等差数列，即仍为 na nak.,232kkkkkSSSSS等差数列.等比数列等比数列等比数列的概念等比数列的概念定定 义义 式：式：，或.*), 2, 0(1Nnnqqaann常数*)(1Nnqaann递递 推推 式：式：.*)(1Nnqaann等比中项：等比中项：两个同号的实数才有但有两个等比中项.ba,GabG通项公式：通项公式：，（广义）.1 1n nqaamn mnqaa前前 n n 项和：项和：当
5、时，1q1naSn当时，.1q111111 1)1 ( 111)1 ( qqa qaa qqaa qqaSn nnnnn等差数列与等比数列的性质- 3 -特征：特征：.)0)(1(AqASn n注：注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.等比数列的性质等比数列的性质1. 若为等比数列，则. namn mnqaa*),(Nnm2. 若为等比数列，且，则. na*),(Nqpnmqpnmqpnmaaaa3. 若为等比数列，则仍为等比数列，其中是非零常数. nankak4. 若为等比数列，则当恒有意义时仍为等比数列，其中是任意常数. na k na k nak5. 若、为等比数列，则、仍为
6、等比数列. na nbnnba nn ba6. 若为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若为等比数列，为 na na nb正整数等差数列，则为等比数列. nba7. 为正项数列的前 n 项积，则为等比数列为等比数列.nT na na nnT8. 若为等比数列的前 n 项和，且，则依次项和仍为等比数列，kS na0kS nak即仍为等比数列.,232kkkkkSSSSS注：注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入.等差数列与等比数列的联系等差数列与等比数列的联系1. 非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。2. 等差数列与等比数列可以相互
7、转化.事实上，若是等比数列，则是等差数 nancalog列；若是等差数列，则是等比数列，其中是常数，且. na nacc1, 0cc3. 等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的运算有类似的性质.等差数列与等比数列的性质- 4 -等差、等比数列性质配套练习等差、等比数列性质配套练习一、选择题： 1. 在正整数 500 至 1000 之间能被 11 整除的个数为 （ ）A.34 B.35 C.36 D.372等差数列an的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+a99的值为 ( )21A.60 B.85 C. D.7521453. 设函数 f(x)满足
8、 f(n+1)=(nN*)且 f(1)=2,则 f(20)为 （ 2)(2nnf）A.95B.97 C.105 D.1924. 若是等差数列，首项，则使前 n 项和 na, 0, 0, 020122011201220111aaaaa成0nS立的最大自然数 n 是 （ ）A4021 B4022 C4023 D40245. 在等差数列中，若,则 n 的值为 （ na,30,240,1849nnaSS）A.14B.15 C.16 D.176已知数列an，如果a1,a2-a1，a3-a2，an-an-1，是首项为 1，公比为的等比数列，31则an (nN*) 等于 （ ）A. B. C. D.)311
9、 (23n)311 (231n)311 (32n)311 (321n7已知数列前n项和Sn=2n-1(nN N*)，则此数列奇数项的前n项和为 ( )A. B. C. D.) 12(311n)22(311n) 12(312n)22(312n8若正数a、b、c依次成公比大于 1 的等比数列，则当x1 时，logax、logbx、logcx ( ) A.依次成等差数列 B.依次成等比数列 C.各项的倒数依次成等差数列 D.各项的倒数依次成等比数列 9正项等比数列an的首项 a1=2-5，其前 11 项的几何平均数为 25,若前 11 项中抽取一项后的 几何平均数仍是 25,则抽去一项的项数为 (
10、)等差数列与等比数列的性质- 5 -A.6 B.7 C.9 D.1110 已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取212 21)( bbaa 值 范围是 ( )A.R R B.(0, C.4,+ D.(-,04,+)4二、填空题：11.在等差数列中,若,则等于_. na6015s8a12.在等差数列中, ,则使它的前 n 项和取最大值的自然数=_ _ . na01a82aanSn13.等差数列,的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若=,则=_ _. na nbnn TS 132 nn1111 ba14.在等比数列中,则的值等于_. nb212841
11、51 bbbbb133bb 15.设为公比大于 1 的等比数列，若是方程的两根，则 na20102009,aa03842 xx_ _.20122011aa16.某等比数列中, 前 7 项和为 48, 前 14 项和为 60,则前 21 项和为_. 17.已知，当,则_.22)(xxxf*), 2)(, 111Nnnxfxxnn2012x三、解答题：18.在等差数列中，若 a1=25 且 S9=S17,问：数列前多少项的和最大？ na na等差数列与等比数列的性质- 6 -19.若数列的前 n 项和=-(nN N*)，求数列|an|的前 n 项和. nanS217 232nnnT20.若等比数列的公比,又,求使 na1q242 17aannaaaaaa1112121LL成立的自然数 n 的取值范围.21.在某两个正数之间插入一个数a,则三数成等差数列，若插入二个数b,c,则四数成等比数列. (1)求证:2ab+c; (2)求证:(a+1)2(b+1)(c+1).等差数列与等比数列的性质- 7 -22.已知数列的前 n 项和为，且满足,. nanS)2(021nSSannn211a(1)求证：是等差数列；（2）求表达式. nS1na
