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1、第 1 页 共 29 页2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列 含详解含详解（2010 上海文数）上海文数）21.(21.(本题满分本题满分 1414 分分) )本题共有本题共有 2 2 个小题，第一个小题满分个小题，第一个小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 个个 小题满分小题满分 8 8 分。分。已知数列 na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN(1)证明：1na 是等比数列；(2)求数列 nS的通项公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整数n.解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n2 时，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa
2、，又 a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 由(1)知：151156nna ，得151 156nna ，从而1575906nnSn(nN*)；由 Sn1Sn，得152 65n，5 62log114.925n ，最小正整数 n15（2010 湖南文数）湖南文数）20.（本小题满分 13 分） 给出下面的数表序列：其中表 n（n=1,2,3 L）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，L2n-1，从第 2 行起，每行中 的每个数都等于它肩上的两数之和。 （I）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推 广到表 n（n3） （不要求证明） ；
3、（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12L，记此数列为 nb 求和：3241 22 31nnnbbb bbb bb bL 第 2 页 共 29 页第 3 页 共 29 页（20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （18） （本小题满分 12 分）已知数列 na的前n项和2() 3nnSnng（）求limnnna S；（）证明：12 222312nnaaa n【命题意图】本试题主要考查数列基本公式11(1)(2)n nns nassn的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】第 4 页 共 29 页【点评】201
4、0 年高考数学全国 I I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不 等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基 本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用 心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求 和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.（20102010 陕西文数）陕西文数）16.（本小题满分 12 分） 已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列. （）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn. 解 （）由题设
5、知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得12 1d1 8 12d d ，解得d1，d0（舍去） ， 故an的通项an1+（n1）1n.第 5 页 共 29 页()由（）知2ma=2n，由等比数列前 n 项和公式得Sm=2+22+23+2n=2(1 2 ) 1 2n =2n+1-2.（2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （18） （本小题满分 12 分）已知na是各项均为正数的等比数列，且12 12112()aaaa，345 34511164()aaaaaa（）求na的通项公式；（）设21()nn nbaa，求数列 nb的前n项和nT。【 【解析解析】 】本本题题考考查查了数列通
6、了数列通项项、前、前n项项和及方程与方程和及方程与方程组组的基的基础础知知识识。 。（ （1） ）设设出公比根据条件列出关于出公比根据条件列出关于1a与与d的方程求得的方程求得1a与与d，可求得数列的通，可求得数列的通项项公式。公式。（ （2）由（）由（1）中求得数列通）中求得数列通项项公式，可求出公式，可求出 BN 的通的通项项公式，由其通公式，由其通项项公式化可知其和可分成两公式化可知其和可分成两 个等比数列分个等比数列分别别求和即可求得。求和即可求得。（20102010 江西理数）江西理数）22. （本小题满分 14 分）证明以下命题：（1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使
7、得222abc，成等差数列。（2）存在无穷多个互不相似的三角形n，其边长nnnabc，为正整数且222 nnnabc，成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考虑到结构要证2222acb， ；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值2221 ,5 ,7满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整数 a 均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当222 nnnabc，成等差数列，则2222 nnnnbacb，分解得：()()()()nnnnnnnnbabacbcb
8、选取关于 n 的一个多项式，24 (1)n n 做两种途径的分解2224 (1)(22)(22 )(22 )(22)n nnnnnnn24 (1)n n 第 6 页 共 29 页对比目标式，构造222211(4)21nnnannbnncnn ，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。任取正整数 m，n，若m，n相似：则三边对应成比例22222221121 21121mmmmm nnnnn， 由比例的性质得：11 11mmmnnn，与约定不同的值矛盾，故互不相似。（2010 安徽文数）安徽文数） （21） （本小题满分 13 分)设12,nC CCL
9、L是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线3 3yx相切，对每一个正整数n,圆nC都与圆1nC相互外切，以nr表示nC的半径，已知 nr为递增数列.()证明： nr为等比数列；（）设11r ，求数列 nn r的前n项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概 括能力以及推理论证能力.【解题指导】 （1）求直线倾斜角的正弦，设nC的圆心为(,0)n，得2nnr，同理得112nnr，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 nr中1nr与nr的关系，证明 nr为等比数列；（2）利用（1）的结论求 nr的通项公式，代
10、入数列nn r，然后用错位相减法求和.第 7 页 共 29 页n nnnn nn+1n+1n+1nnn+1n+1nnn+1nnn 11 n nn nn 12331,sin,332 r12r22rrr2r2rr3rrq3nr1q3r3n*3r12.rrxC解：（1）将直线y=的倾斜角记为, 则有t an =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。（）由于，故，从而，记S121 n121n121n1 1,r12*33*3. *31*32*3.(1)*3*331 33.3*33 1 333*3()*3 ,222 3 9139(23)*3()*34224nnn
11、nnnn nnn n nnnnnnnnnSn 则有SS, 得 2S【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项na与1na之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前 n 项和nS乘以公比，然后错位相减解决.（2010 重庆文数） （16） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ）已知 na是首项为 19，公差为-2 的等差数列，nS为 na的前n项和.（）求通项na及nS；（）设nnba是首项为 1，公
12、比为 3 的等比数列，求数列 nb的通项公式及其前n项和nT.第 8 页 共 29 页（2010 浙江文数）浙江文数） （19） （本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足56S S+15=0。（）若5S=5，求6S及 a1；（）求 d 的取值范围。（2010 重庆理数）重庆理数） （21） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分）在数列 na中，1a=1，1 121*n nnacacnnN ，其中实数0c 。（I）求 na的通项公式；（II）若对一切*kN有21kzkaa，求 c 的取值范围。
13、第 9 页 共 29 页第 10 页 共 29 页第 11 页 共 29 页（2010 山东文数）山东文数） （18） （本小题满分 12 分）已知等差数列 na满足：37a ，5726aa. na的前 n 项和为nS.（）求na 及nS；（）令21 1n nba（nN）,求数列 nb的前 n 项和nT.第 12 页 共 29 页（20102010 北京文数）北京文数） （16） （本小题共 13 分）已知|na为等差数列，且36a ，60a 。（）求|na的通项公式；（）若等差数列|nb满足18b ，2123baaa，求|nb的前 n 项和公式解：（）设等差数列na的公差d。因为366,0a
14、a 所以112650adad 解得110,2ad 所以10(1) 2212nann （）设等比数列 nb的公比为q因为212324,8baaab 所以824q 即q=3所以 nb的前n项和公式为1(1)4(1 3 )1n n nbqSq（20102010 北京理数）北京理数） （20） （本小题共 13 分）第 13 页 共 29 页已知集合121|( ,),0,1,1,2, (2)nnSX Xx xxxin n ，对于12(,)nAa aa，12( ,)nnBb bbS，定义 A 与 B 的差为1122(|,|,|);nnABabababA 与 B 之间的距离为11 1( , )|id A Bab（）证明：, ,nnA B CSABS有，且(,)( , )d AC BCd A B;（）证明：, , ( , ), ( ,), ( ,)nA B CSd A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数() 设 PnS，P 中有 m(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为d(P).证明：d（P）2(1)mn m.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）证明：（I）设12(,.,)nAa aa，12( ,.,)nBb bb，12( ,.,)nCc
