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1、020172017 年考研数学一真题及答案解析年考研数学一真题及答案解析一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数在处连续，则（ ）1 cos,0( ) ,0xxf xax b x 0x 11( )22 ( )02A abB abC abD ab 【答案】A【解析】在处连续选 A. 001 1 cos12limlim,( )2xxxxf xaxaxaQ0x
2、11.22baba（2）设函数可导，且，则（ ）( )f x( )( )0f x fx ( ) (1)( 1)(1)( 1)( )(1)( 1)(1)( 1)A ffB ffC ffDff【答案】C【解析】或，只有 C 选项满足且满足，所以选( )0( )( )0,(1)( )0f xf x fxfxQ( )0(2)( )0f xfx (1)(2)C。（3）函数在点处沿向量的方向导数为（ ）22( , , )f x y zx yz(1,2,0)1,2,2u ( )12( )6( )4()2ABCD【答案】D【解析】2 (1,2,0)1 2 22,2 ,4,1,04,1,0 , 2.|u |3
3、3 3fugradfxy xzgradfgradfu选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：） ，虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，1( )vv t/m s2( )vv t天任启航考研 http:/计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s） ，则（ ）0t051015202530( )t s(/ )v m s10200000( )10( )1520( )25()25A tBtC tD t【答案】B【解析】从 0 到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则0t00 1200(t) ,(t) ,ttv
4、dtvdt，当时满足，故选 C.0 210(t)v (t)10tvdt025t （5）设是维单位列向量，为阶单位矩阵，则（ ）nEn ( )( )22TTTTA EB EC ED E不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项 A,由得有非零解，故。即()0TE()0TEx0TE不可逆。选项 B,由得的特征值为 n-1 个 0，1.故的特征值为 n-1 个TE()1TrTTE1，2.故可逆。其它选项类似理解。（6）设矩阵,则（ ）200210100 021 ,020 ,020 001001002ABC ( ),( ),A ACBCB ACBCC ACBCD ACBC与相似与相似与相似与不相似
5、与不相似与相似与不相似与不相似【答案】B【解析】由可知 A 的特征值为 2,2,1()0EA2因为，A 可相似对角化，且3(2)1rEA100 020 002A 由可知 B 特征值为 2,2,1.0EB因为，B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，3(2)2rEB，且 B 不相似于 CAC（7）设为随机概率，若，则的充分必要条件是（ ,A B0( )1,0( )1P AP B()()P A BP A B）( ) ()()( ) ()()( ) ()()() ()()A P B AP B AB P B AP B AC P B AP B AD P B AP B A【答案】A 【解析】按照条件概
6、率定义展开，则选项符合题意。（8）设为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正12,(2)nXXXn( ,1)N11ni iXXn确的是（ ） 2222 1 122221( )()2()( )()()nin ini iAXBXXCXXD n X服从分布服从分布服从分布服从分布【答案】B 【解析】2212221222 21( ,1),(0,1)()( ),(1)()(1)C1 ( , ),()(0,1), () (1),()(0,2),(1),B2ini ini inXNXNXn AnSXXnX Nn XNn XDn XXN:正确，正确，正确,故错误.由于找不正确的结论，故 B 符合题意。天
7、任启航考研 http:/二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 已知函数，则=_21( )1f xx(3)(0)f【答案】(0)6f 【解析】22 22 0023211( )()( 1)11 ()( )( 1) 2 (21)(22)(0)0nnnnnnnnf xxxxxfxnnnxf (10) 微分方程的通解为_230yyyy 【答案】， （为任意常数）12(cos2sin2 )xyecxcx12,c c【解析】齐次特征方程为2 1,223012i 故通解为12(cos2sin
8、2 )xecxcx(11) 若曲线积分在区域内与路径无关，则221Lxdxaydy xy 22( , )|1Dx yxy_a 【答案】1a 【解析】由积分与路径无关知22222222,(1)(1)PxyQaxy yxyxxy1PQayx (12) 幂级数在区间内的和函数_111( 1)nnnnx ( 1,1)( )S x 【答案】21( ) 1s x x 【解析】 111 2 111( 1)( 1)1(1)nnnnnnxnxxxx （13）设矩阵，为线性无关的 3 维列向量组，则向量组的秩为101112011A 123, 123,AAA4_ 【答案】2【解析】由线性无关，可知矩阵可逆，故123
9、, 123, 再由得 123123,r AAAr Ar A 2r A 123,2r AAA（14）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则X4( )0.5 ( )0.5 ()2xF xx( ) x_EX 【答案】2 【解析】，故0.54( )0.5 ( )()22xF xx0.540.5( )()22xEXxx dxxdx。令，则=( )0xx dxEX4 2xt4()2xxdx242( )8 14( )8 tt dttt dt因此. ()2E X 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字
10、说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤演算步骤. （15） （本题满分 10 分）设函数具有 2 阶连续偏导数，求 ，( , )f u v(,cos )xyf ex0xdy dx22 0xd y dx【答案】2 1112 00(1,1),(1,1),xxdyd yffdxdx【解析】0 12121002 22 111221221222 11122 0(,cos )(0)(1,1)sin(1,1) 1(1,1) 0(1,1)( sin )( sin )sincos(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxxxyf exyfdyf efxfffdxd yf ef exf ex
11、fxf efxdx d yfffdx 结论： 1 02 11122 0(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)xxdyfdxd yfffdx天任启航考研 http:/（16） （本题满分 10 分）求2 1limln 1nnkkk nn【答案】1 4 【解析】211122 1 020001111 11limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1)2214nnkkkxxx dxx dxxxdxnnx （17） （本题满分 10 分）已知函数由方程确定，求的极值( )y x333320xyxy( )y x【答案】极大值为，极小值为(1)1y( 1)0y 【解析】 两边求导得：（1）2233 33
12、 0xy yy 令得0y 1x 对（1）式两边关于 x 求导得 （2） 22663 3 0xy yy yy将代入原题给的等式中，得，1x 1110xxoryy 将代入（2）得1,1xy(1)10y 将代入（2）得1,0xy ( 1)20y 故为极大值点，；为极小值点，1x (1)1y1x ( 1)0y （18） （本题满分 10 分）设函数在区间上具有 2 阶导数，且，证明：( )f x0,1 0( )(1)0, lim0 xf xfx方程在区间内至少存在一个实根；( ) ( )0f x (0,1)方程在区间内至少存在两个不同实根。()2( )( )( )0f x fxfx(0,1)【答案】
13、【解析】（I）二阶导数，( )f x 0( )(1)0, lim0 xf xfx6解：1）由于，根据极限的保号性得 0( )lim0 xf x x有，即0,(0, )x ( )0f x x( )0f x 进而 0(0, )0xf有又由于二阶可导，所以在上必连续( )f x( )f x0,1那么在上连续，由根据零点定理得：( )f x ,1( )0,(1)0ff至少存在一点，使，即得证( ,1)( )0f（II）由（1）可知，令，则(0)0f(0,1),( )0f 使( )( )( )F xf x fx(0)( )0ff由罗尔定理，则，(0, ),( )0f 使(0)( )( )0FFF对在分别使用罗尔定理：( )F x(0, ),( , ) 且，使得，即12(0, ),( , ) 1212,(0,1), 12()()0FF在至少有两个不同实根。2( )( )( )( )0F xf x fxfx(0,1)得证。（19） （本题满分
