《[20150618]交大附中高二数学期末考试卷[教师版]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[20150618]交大附中高二数学期末考试卷[教师版]（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第1 页上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第二学期高二数学期末考试卷本试卷共有23 道试题，满分150 分。本试卷考试时间120 分钟。请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上命题：侯磊审核：杨逸峰友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，请将最终、最完整的结果填在横线上。每题答对得4 分，否则一律得零分。1.已知复数1zi，则21zz2 。2.若 z 是关于 x 的实系数方程2
2、20xxp的一个虚根，且| 2z，则p4 。3.二项式72()xx的展开式中，3x的系数是 _84_。 （用数字作答）4.一支田径队有男运动员48 人，女运动员36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21 的样本，则抽取男运动员的人数为12 。5.记者要为5名志愿者以及他们帮助的2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有960 种。 （用数字作答）6.某国际科研合作项目成员由10 个美国人、 2 个法国人和3 个中国人组成现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为815。（结果用分数表示）7.在极坐标系中 , 点(
3、2,) 6到直线sin2的距离等于 _1_。8.如 图 ，在 长方 体1111ABCDABC D中 ，2ABBC，11AA， 则1BC与 平 面11BB D D所 成 角 的 正 弦 值上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第2 页为105。9.如图， 一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r，则Rr2 33。10. 长方体1111ABCDA BC D的各顶点都在球的球面上，长方体相邻的三条棱的棱长之比为1:1:1:2AB AD AA。若AB、两点间的球面距离为m，1AD、两点间的球面距离为n，则mn的值
4、为12。11. 已知 m、n 是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：若，m 在平面内， n 在平面内，则mn；若 m、n 在平面内，m，n，则；若m，n，mn，则；若 m、n 是两条异面直线，m，m，n，n，则上面的命题中，真命题的序号是。（写出所有真命题的序号）12. 用数字 1、2、3、 4、5、6、7 组成的无重复数字的六位数中，是6 的倍数的概率为上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第3 页421。 （结果用分数表示）13. 已知非零复数a、b、c 满足abcbca，abczabc，那么220151zzz2016 或 0 。解：设abckbc
5、a，那么23akbk ck a，所以31k。k=1 时， z=1，2201512016zzz；k或时，210kk，2 2 211 11=1abckkzkabckkkkk或所以220151zzz201611 1011zzz14. 在xOy平面上，将圆周22(1)1xy所围成的封闭图形记为D。记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为。过(0,)(| 1)yy作的水平截面，所得截面面积为241y，试利用祖暅原理得出的体积值为 _22_。解：根据提示，一个半径为1，高为2的圆柱平放，这个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为22122二、选择题（
6、本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得5 分，否则一律得零分。15. 在复平面内 , 复数 (2-i)2对应的点位于（D ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限16. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 ( D ) A、若lm， m 在内，则lB、若l，m，则lmC、若l，m 在内，则lmD、若l，lm，则m上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第4 页17. 若有一组数据12,nx xx的方差为9，则122(3),2(3),2(3)nxxx的标准差为（D
7、）A、9 B、 36 C、3 D、618.如图，体积为V 的大球内有4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点， 4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的个顶点为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（D ）A122VVVB122VVVC12VVD12VV三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. （本题满分12 分） 已知复数1z满足1(1)1 5i zi，22zai，其中i为虚数单位，若121| |zzz，求实数a 的取值范围。解：由题意得于是所以得所以20.（
8、本题满分14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分） 如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD ， AB=3，BC=1 ，PA=2， E 为 PD 的中点 . （ 1）求直线AC 与 PB 所成角的余弦值；（ 2）在侧面 PAB 内找一点N，使 NE面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 . 上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第5 页解法 1： （ 1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C、D、P、E 的坐标为A（0， 0，0） 、B（3，0，0） 、C（3，1，0） 、D（0，1， 0
9、） 、P（0， 0，2） 、E（0，21， 1） ，从而).2, 0 ,3(),0 , 1 ,3(PBAC设PBAC与的夹角为 ，则,1473723|cos PBACPBACAC 与 PB 所成角的余弦值为 1473. （ 2）由于 N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（ x，O，z） ，则)1 ,21,(zxNE，由 NE面 PAC 可得，. 0213,01.0)0, 1 ,3()1 , 21,(,0)2,0,0()1 ,21,(.0,0xzzxzxACNEAPNE化简得即163zx即 N 点的坐标为)1 ,0, 63(，从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为1，63. 解法 2：
10、（1）设 AC BD=O ，连 OE，则 OE/PB， EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角. 在 AOE 中， AO=1 ，OE=, 2721PB,2521PDAE上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第6 页. 1473127245 471 cosEOA即 AC 与 PB 所成角的余弦值为 1473. （ 2）在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交AB 于 F，则6ADF. 连 PF，则在 RtADF 中. 33tan,332cosADFADAFADFADDF设 N 为 PF 的中点，连NE，则 NE/DF ，DFAC，DFPA， DF面
11、PAC，从而 NE面 PAC. N 点到 AB 的距离1 21AP，N 点到 AP 的距离.6321AF21. （本题满分14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）已知正方体ABCDA B C D的棱长为 1，点 M 是棱AA的中点，点O 是对角线BD的中点。（ 1）求二面角MBCB的大小；（ 2）求三棱锥MOBC的体积。解： (1) 解法一：取BB中点，连结，则MNBCC B平面，过点作NHBC于，连结，则由三垂线定理得MHBC从而为二面角MBCB的平面角，所以上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第7 页在中，故二面角MBCB的大小为解法二：设
12、平面MBC的一个法向量为，则即取，则，从而取平面BC B的一个法向量为，所以由图可知，二面角MBCB的平面角为锐角，故二面角MBCB的大小为上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第8 页(2) BCD A11212444OBCSS四边形设平面的一个法向量为，则即取，得，从而点到平面的距离所以22. （本题满分16 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 5 分，第 3 小题 6 分）已知0122222nn nnnnnaCCCC， （*Nn）（ 1）求数列na的通项公式；（ 2）若数列02242 2222222nn nnnnnbCCCC，求极限2limnnnba
13、的值；（ 3）若2 2( 2)nn nmcC，求数列nc的前 m 项和mS（用 m 表示） 。解：（1）0122(2)(1 2)222nnn nnnnfCCCC，所以3n na（2）2012222 2222(12)222nnn nnnnCCCC201223322 22222(12 )2222nnn nnnnnCCCCC2202242 2222(12)(12)2(222)nnnn nnnnCCCC上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第9 页所以22 02242 2222(12)(12)(222)2nn nn nnnnnbCCCC222 2(12)(12)lim
14、02 3nn n nn nba（3）224362 2222222( 2)mm mmmmmSCCCC20122 2222(12 )22(2 )mmm mmmmiCi CCC20122 2222(12 )22(2 )mmm mmmmiCi CCC所以22022 222(12 )(12 )2(2( 2)2(1)mmmm mmmmiiCCCS所以22(12 )(12 )12mmmiiS。23. （本题满分18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分） 定义：对于任意复数( ,)zxyi x yR，当0y时，称满足方程 yxcot的最小正角为复数z 对应的角；当0y时，定义
15、复数z 对应的角为0。（ 1）若复数1322i，求及对应的角。（ 2）当复数z 在复平面内对应的点在轨迹C：yx42上运动时。求复数iz对应的角的取值范围；（ 3）若非零复数z在复平面内对应的点在轨迹C：yx42上，当复数 w 取遍轨迹C上的点时， z+w 对应的角有最大值max和最小值min。且当1ww时 z+w 对应的角取到最大值；2ww时 z+w 对应的角取到最小值。求复平面内复数21ww对应的点的轨迹方程。解： （ 1）对应的角为23；对应的角为 3。（2）设( ,)zxyi x yR，复数iz的角为上海交通大学附属中学2014-2015 学年度第一学期高二数学期末考试卷第10 页那么yx42，ixxiyxiz)14()1(2所以14cot2xx。因为 x 为任意实数，所以 1 , 1 142xx，所以 43,4（3）设ixxz42 ，),( 42 Rtsissw。那么isxsxwz422设 z+w 对应的角为，那么xsxxssxsxsxsx 222222444cot所以当xs) 12(时，xsxxs224取到最大值， 即取最小值；当xs) 12(时，xsxxs224取到最小值，即取最大值。所以ixxixxixxww2324)12() 12(4)12()12(2222221对应的轨迹方程为2 83xy，由于 z 是非零复数，所以x0。综上，轨迹方程为23(0)8yxx。
