数轴教学案例

《数轴教学案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数轴教学案例（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、教学目标 知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应; 学会比较两个实数的大小; 了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地 进行实数运算;在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算; 通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系” ，渗透“数形结合”的数学思想。 教学重点与难点 重点：实数与数轴上的点一一对应关系。 难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解。 教学准备 教师：直径为 1cm 的硬纸板的圆。 教学设计 教学过程设计意图说明 试一试 我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数?无理

2、数可 以用数轴上的点来表示吗? 课件演示课本第 175 页探究题;学生动手操作，利用课前准备好的硬纸板的圆片在自己画 好的数轴上实践体会。 你能在数轴上画出坐标是 2 的点吗?画一画，说说你的方法。 教师启发学生得出结论：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。 练习：学生自己完成课本第 178 页练习第 1 题。 在此基础上，教师引导学生进一步得出结论：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上 的点是一一对应的。即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示;数轴上的每一个点都表示 一个实数。 类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、 绝对值的几何意义。 深入

3、探讨：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在着一一对应关系吗? 除了课件演示外再让学生动手实践操作的目的是让学生直观认识到可以用数轴上的点来表 示无理数，而每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，即无理数与数轴上的点之间 的对应关系。 通过练习，让学生对于实数可以用数轴上的点表示，数轴上的一个点表示一个实数有了直 观的认识，体会实数与数轴上的点之间的一一对应关系。将数与图形联系起来，体会数形 结合的思想。 教师在此环节中要留给学生充足的时间，让学生自己归纳和总结。 比一比 问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小? 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。这个结论在实数范围内也成立。

4、我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗? 两个正实数的绝对值较大的值也较大;两个负实数的绝对值大的值反而小;正数大于零，负数 小于零，正数大于负数。 例 1 比较下列各组数里两个数的大小： (1)，1.4;(2)-;(3)-2， 分析：像例 1(1)，即可以将，1.4 的大小比较转化为的大小比较;也可以先求出的近似值，再通过比较它们近似值(取近似值时，注意精确度要 相同)的大小，从而比较它们的大小。 让学生回忆有理数范围内比较大小的方法，体会在实数范围内这些比较两个数大小的方法 依旧成立。 通过例题，使学生掌握比较两数大小的方法。 算一算 问：在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算?

5、 答：加、减、乘、除、乘方和开方运算。 接着问：有哪些规定吗? 除法运算中除数不为 0，而且只有正数及 0 可以进行开平方运算，任何一个实数都可以进 行开立方运算。 问：有理数满足哪些运算律? 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 我们如何知道运算律在实数范围内是否适用? 例 2 计算下列各式的值： (1);(2)例 3 计算： (1)(精确到 0.01) (2)(保留三个有效数字) (3)(保留三个有效数字) (在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，

6、可以按照所要求的精确度用 相应的近似的有限小数去代替无理数，再进行计算。) 鼓励学生多举一些实际例子来验证。其意义一是为了避免学生产生片面认识，以为从几个 例子就可以得出普遍结论，二让学生了解结论的重要性。 例 2 与例 3 要求是不同的。例 2 在运算中遇到无理数但并不需要求出结果的近似值，例 3 却不同，不仅在运算中遇到无理数且需要求出结果的近似值，在教学中应该提醒学生注意 按照问题的要求解决问题。 课堂巩固 课本第 178 页练习第 2、3 题。 小结 布置作业 必做题：课本第 179 页习题 10.3 的第 4、5、6、8 题。 选做题：课本第 179 页习题 10.3 的第 9 题。

7、 备选题： (1)若 m 表示一个实数，则-m 表示一个() A.负数 B.正数 C.实数 D.非正数 (2)计算： 求 5 的算术平方根与 2 的平方根之和(保留三个有效数字);(精确到 0.01); 已知，求 ab 的值。个钢球的体积是 200cm3，求它的半径( 取 3.14，结果保留三个有效数字)。 设计思想 本节课的教学设计中注重从学生已有的知识经验出发，如学生在有理数章节中已经学习了 有理数可以用数轴上的点表示，所以在教学中充分发挥学生的主体意识，让学生主动参与 学习活动，除了让学生看课件演示外，更通过让学生动手实验操作，感悟知识的生成、发 展和变化，自己探索得到结论：实数与数轴上

8、的点的一一对应关系，从而培养学生自主探 索的学习方法。在“比一比”教学环节中，先让学生回忆有理数范围内数的大小的比较方法，体会在 实数范围内这些比较两个数大小的方法依旧成立，在比较的过程中让学生体会一个很重要 的数学思想：转化思想。在“算一算”教学环节中，先复习七年级上已经学习过的有理数范围内的运算律，然 后提出一个富有启发性且具有探索意义的问题“我们如何知道运算律在实数范围内是否适 用?” 然后鼓励学生多举一些例子来验证，其意义一是为了避免学生产生片面认识，以为从几个 例子就可以得出普遍结论，二让学生了解结论的重要性。 背景资料 中国古代科学家对 的研究 圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记

9、载的历史开始，这个数就引起了外行人和学者们 的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题而提出的。 几千年来古今中外一代一代的数学家为了求出它的尽量准确的近似值献出了自己的智慧和 劳动。德国数学史家康托曾说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作 为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。 ”直到 19 世纪初，求圆周率的值仍然是数学中 的头号难题。 在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部周髀算经中，就记载有圆 “周三径一”这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径 一，方五斜七” ，意思是说，直径为 1 的圆，周长大约是

10、3，边长为 5 的正方形，对角线之 长约为 7。这正反映了早期人们对圆周率 和这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还 明文规定圆周率取 3 为计算面积的标准。后人称之为“古率” 。东、西汉之交，新朝王莽令 刘歆制造量的容器律嘉量斛，刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。 为此，大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推 算，其计算值分别取为 3.1547，3.1992，3.1498，3.2031 比“径一周三”的古率已有所进 步。人类的这种探索的结果，当主要用来估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此 来制造器皿或其他计算就不合适了。凭直观推测或实物度

11、量，来计算 值的实验方法所得 到的结果是相当粗略的。 在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元 263 年前后，刘徽提出著名的割 圆术，得出 =3.14，通常称为“徽率” ，他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术的时 间比阿基米德晚一些，但其方法却有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多 边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。 另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以至于他将割到 192 边形 的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有 4 位有效数字的圆周率=3927/1250=3.1416。而这一结果，正如

12、刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结 果，需要割到 3072 边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆 术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。恐怕大家 更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此， 隋书律历志有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽， 朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三， 圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。 ”这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡 献。其一是求得圆周率 3.14159263.1415927;其二

13、是，得到 的两个近似分数即：约 率为 22/7;密率为 355/113。他算出的 的 8 位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率， 而且保持世界纪录九百多年。以至于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率” 。这一结果 是如何获得的呢?追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非 凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学 伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到 这一结果，需要算到圆内接正 12288 边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用 了其他的巧妙办法来简化计算呢?这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作缀术早 已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。