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1、概率中的期望与方差新题展示概率中的期望与方差新题展示概率与统计的最大特点是其在生产、生活中的应用，随着所学内容的加深，出现了一 些情况新颖、构思巧妙、解法灵活的创新题，显示了概率知识的活力与魅力。 一、哪种方案好？ 例 1、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25，有大洪水的概率为 0.01.该 地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60000 元，遇到小洪水时要损失 10000 元。为保护设备，有以下 3 种方案： 方案 1：运走设备，搬运费为 3800 元。 方案 2：建保护围墙，建设费为 2000 元，但围墙只能防小洪水。 方案 3：不采取措施，希望不发生洪水。 试比
2、较哪一种方案好。解：用分布表示三种方案的损失。321,XXX采用第 1 种方案，无论有无洪水，都损失 3800 元，即，38001X采用第 2 种方案，遇到大洪水时，损失 20006000062000 元；没有大洪水时，损失 2000 元，即 2000620002X无大洪水有大洪水同样，采用第 3 种方案，有 02000620003X 无洪水有小洪水有大洪水于是，E，38001X)2000(2000)62000(62000222XPXPEX620000.012000（10.01）2600，)0(0)10000(10000)60000(600003333XPXPXPEX600000.011000
3、00.253100. 采用方案 2 的平均损失最小，所以可以选择方案 2.点评：值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的。一般地，我 们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会 使损失减到最小。由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一 次决策，采用方案 2 也不一定是最好的。 二、哪种物体质量好？ 例 2、有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：1110 120 125 130 135P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.22100 115 125 130 1450.1 0.2 0.4 0.1 0
4、.2其中、分别表示 A、B 两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于12120，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好？ 分析：要比较两种钢筋的质量，可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，即期望值， 然后再看这两种钢筋质量的稳定性即方差。解：E1100.11200.21250.41300.11350.2125，1E1000.11150.21250.41300.11450.2125，2又D4 . 0)125125(2 . 0)125120(1 . 0)125110(222 1502 . 0)125135(1 . 0)125130(22D4 . 0)125125(2 . 0)125115(
5、1 . 0)125100(222 2，1652 . 0)125145(1 . 0)125130(22由于 EE，可知甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度都不低于 120，但由于 DD，即1212乙种钢筋的抗拉强度指标与其平均值偏差较大，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋。 三、选择哪个方案更好？例 3、一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润（万元）分别服从正态分布和，投资者需要“利润超过 5 万元”的概率尽量地大，那么他应)3 . 8(2N)2 . 6(2N选择哪一种方案？ 解：由题意，只需求出两个方案中“利润超过 5 万元”的概率哪个大，大的即为最佳 选择方案。对第一方案有：，于是)3
6、. 8(2N.8413. 0) 1 () 1(1)385(1)5(1)5(1)5(FPP对第二方案有，于是)2 . 6(2N.6915. 0)21()21(1)265(1)5(1)5(1)5(FPP所以应选择第一方案为好。点评：应用公式求解概率是常见的方法，应)(1)(1)(xPxP熟练掌握。 四、何时利润最大？例 4、某商场某品牌的空调每周的销售量是一个随机变量，分布列为，201)( kPk11，12，30，而商场每周的进货量为区间11，30中的某一整数，商场每销售一台 空调可获利 500 元，若供大于求，则每台多余的空调需要交保管费用 100 元；若供不应求， 则可从其他商场调剂供应，此时
7、每台空调仅获利 200 元，问此商场周初进货量（含上周余 量）应为多少时才能使周平均利润最大？ 分析：设周初进货 x 台，周利润为，要求周平均利润的最大值，就是要求 E的最大值。为此需求出的取值，而又是的函数，需按供大于求、供不应求给出的表达式，然后利用函数、数列的相应知识求解。解：设商场周初进货（含上周余量）为 x 台，周利润为随机变量，则30,11x xxxxxxxx ,300200500)(200,500,100600)(100500又，k11，12，30，201)( kP所以xxEx 500201)100600(201111 301)200300(201xx)30(1525)11(5)11(2) 1(1130xxxxxxx. 5 .9502)5 .25(10300051010)30(2) 1(301022xxxxx因为 x 为正整数，且，所以 x25 或 26 台，即周初进货量（含上周余量）30,11x为 25 或 26 台时，周平均利润最大。
