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1、8.2 偏导数偏导数7.2.1 偏导数偏导数7.2.2 高阶偏导数高阶偏导数例例 理想气体的压强理想气体的压强p，其中其中R为常数为常数,8.2.1 偏导数 p关于关于T的变化率的变化率, ,当当V为常数时，为常数时，p是是T的一元函数的一元函数, ,称为称为p关于关于T的偏导数的偏导数 p关于关于V的变化率的变化率, ,当当T为常数时，为常数时，p是是V的一元函数的一元函数, ,称为称为p关于关于V的偏导数的偏导数的函数关系：的函数关系：体积体积V 和绝对温度和绝对温度T之间之间一元函数的导数或或记号记号回忆存在存在, ,内有定义，内有定义，如果极限如果极限则称此极限为则称此极限为记为记为对
2、对x的偏导数的偏导数,或或二元函数的偏导数定义定义: :同理同理, ,记为记为对对y的偏导数的偏导数,为为或或说明说明对对x的偏导数的偏导数,就是函数就是函数沿沿平行平行x轴方向轴方向的的变化率变化率,对对y的偏导数的偏导数, 是沿是沿平行平行y轴方向轴方向的的变化率变化率,偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如, ,从从偏导数的定义偏导数的定义可知，可知，因此因此一元函数一元函数的求导法则和求导公式，的求导法则和求导公式，只需将只需将y看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法, ,求多元函数的求多元函数的偏导数偏导数看成看成x的一元函数求导即可的一
3、元函数求导即可.对多元函数求偏导数仍然适用。对多元函数求偏导数仍然适用。说明说明 例例 求求 在点在点(1,0)处的两个偏导数处的两个偏导数.解解三个偏导数三个偏导数. .解解 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时, ,例例变为一元函数再求导变为一元函数再求导, ,在点在点(1,0,2)处的处的可将其它变量的值代入可将其它变量的值代入, ,常常较简单常常较简单. .证证结论成立结论成立例例解解例例证证例例、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；、偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数
4、中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，说明说明例例 设解解此极限不存在，此极限不存在，故函数在故函数在(0,0)(0,0)不连续。不连续。与与k有关有关,偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数在一点一元函数在一点可导可导，一定在该点，一定在该点连续连续的结论，的结论，说明说明对于多元函数对于多元函数不成立不成立，因为偏导数存在，因为偏导数存在，只能保证沿只能保证沿平行坐标轴方向平行坐标轴方向有有而不能保证沿而不能保证沿任意方向任意方向都有都有例例所以函数在所以函数在 (0, 0) (0, 0) 点是连续的点是连续的解解连续连续 偏导数存在偏导数存在.不存在不存在. .不存
5、在不存在.同理同理 二元函数二元函数f(x, y)在点在点 (x0, y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是存在是 f (x, y) 在该点连续的在该点连续的( ).A. 充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件B. 必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C. 充分必要条件充分必要条件D. 既非既非充分条件又非必要条件充分条件又非必要条件D可偏导可偏导连续连续解解例例按按定义定义得得一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义即即二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义为曲面为曲面上的一点上的一点, , 过点过点作作平面平面此平面与曲面此
6、平面与曲面相交得一曲线相交得一曲线, , 曲线的方程为曲线的方程为故由故由一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义可知可知: :表示曲线表示曲线在点在点处的切线处的切线表示曲线表示曲线在点在点关于关于x轴轴正向夹角正向夹角的正切值的正切值处的切线关于处的切线关于y 轴轴正向夹角的正切值正向夹角的正切值同理同理: : 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的切线处的切线与与x轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?解解在点在点(2,4,5)处的切线处的切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少? 曲线曲线例例练习练习8.2.2 高阶偏导数还是还是x,y的二元函数，的二元函数，如果
7、这两个函数对如果这两个函数对x,y的的偏导数偏导数也存在，也存在，则称这些则称这些偏导数偏导数为为f(x, y)的的二阶偏导数，二阶偏导数，记作记作纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义n n-1-1阶偏导数的偏导数称为阶偏导数的偏导数称为n n阶偏导数阶偏导数或或2 2阶和阶和2 2阶以上的偏导数统称为阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数. .例例的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数. .解解解解例例在一定条件下，混合偏导数相等！在一定条件下，混合偏导数相等！多元函数的高阶混合偏导数如果连续，多元函数的高阶混合偏导数如果连续，一般地一般地, ,则混合偏导数与则混合偏导数与求导次序无关求导次序无
8、关. .如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏在区域在区域D内内定理定理连续，连续，那么在那么在导数导数该区域内该区域内多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程分方程.偏微分方程是描述自然现象、反映自然偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的一种重要手段规律的一种重要手段.例如方程例如方程(a是常数是常数)称为称为波动方程波动方程, 它可用来描述各类波的它可用来描述各类波的运动运动.又如方程又如方程称为称为拉普拉斯拉普拉斯(laplace)方程方程, 它它在热传导、流体在热传导、流体运动等问题中有着重要的作用运动等问题中有着重要的作用.例例 验证函数验证函数满足满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程: :证证 因因由由x, y在在函数表达式中的对称性函数表达式中的对称性,有有例例解解有有).0 , 0()0 , 0(yxxyff和和求求按按定义定义得得yx偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）小结
