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1、弯矩、剪力与分布荷弯矩、剪力与分布荷载载集度集度问问的关系的关系直梁的受力如图 2- 11 所示， 以梁的左端为坐标原点， 设 x 轴指向右为正，以向上为正。 今在的作用区域内取出一微段， 设微段左侧面上的剪力、 弯矩分别为、，则右侧面上内力相应的增加一增量，分别为+及+。由于很小，微段上的荷载集度可视为均布。根据平衡方程可 得略去二阶无穷小后， 可得26从式(2-10)、 式(2-11)又可得以上三式称为平面荷载作用下的平衡微分方程，它们所代表的微分关系在直梁中是普遍存在的。若将坐标原点取在梁的右端，x 轴以向左为正，则式(2-10)、式(2-11)的右端应各加一负号。但式(2-12)则不因
2、坐标指向的改动而影响其正负号。从数学分析中可知，式(2-10)和式(2-11)的几何意义分别是：剪剪力力图图上上某某点点处处切切线线的的斜斜率率等等于于该该点点处处荷荷载载集集度度的的大大小小； ；弯弯矩矩图图上上某某点点处处的的切切线线的的斜斜率率等等于于该该点点处处剪剪力力的的大大小。小。根据这些关系及式(2-12)，可得出在常见情况下，梁上荷载、剪力图、弯矩图三者间的一些关系：(1)如梁上某一段受向下的均布荷载作用，即为负值常数时，根据式(2-10)可知，剪力图为一向右下方倾斜的直线。当规定弯矩图纵坐标以向下为正时，由式(2-11)可知，梁的弯矩图为一下凸的二次抛物线。例题27 中的剪力
3、图、弯矩图即是如此。(2)若梁上某一段无荷载作用，即=0。仿照上述分析可知，其剪力图必为一水平直线(剪之为常数)。而弯矩图则必为一倾斜直线，当0时，弯矩图为一向右下方倾斜的直线(见例题 2-6 图所示)反之，弯矩图为一向右上方倾斜的直线。(3)对应于的横截面，该截面上弯矩为极大值或极 小值。但需指出，对全梁而言，极值弯矩不一定是最大值弯矩。最大弯 矩可能发生在 Q=0 的截面上，也可能不在此截面上，而在集中力(包括 支反力)或集中力偶作用处的横截面上。现将梁的弯矩、剪力、荷载间 关系及前面几个例题中所见到的 Q、M 图特征整理得表 21。利用荷载集度、 剪力、 弯矩三者间的微分关系， 可以不必
4、写出剪力和弯矩方程， 而方便地绘制梁的剪力图和弯矩图。 我们称这种作图方法为简易洁。 下面举例说明其应用。例例题题2 8 一外伸梁受均布荷载和集中力的作用，试用简易法做此梁的剪力图和弯矩图。解解： 利用平衡方程，求得由于此梁分和两段，段作用有向下的均布荷载，故剪力图是向右下方倾斜的直线。段上无荷载， 所以剪力图是水平直线。 因此只要知道几个特殊截面的剪力值就可画出剪力图。根据以上几个特殊截面上的剪力值， 画出剪力图如例题 2 8 图(b)所示。 由图(b)可知，Q=0的横截面位置距离点为。段梁上有向下的均布荷载作用，该段弯矩图是下凸的二次抛物线。在=的截面处，弯矩有极值，段上无荷载作用，弯矩图为一根斜直线，该段由于， 所以是向右上方倾斜的直线。 故只要知道了以下几个截面上的弯矩值， 就可以画出弯矩图。弯矩图如例题 2-8 图(c)所示。在 A 截面右侧，=。最大弯矩在截面上，即处。
