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1、二次函数的实际应用面积最大(小) 值问题例 1：在矩形ABCD 中， AB=6cm ，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿AB 边向点 B 以 1cms 的速度移动，同时点Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动，如果P、Q 两点同时出发，分别到达B、C 两点后就停止移动（1）运动第t 秒时， PBQ 的面积 y(cm2)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3） t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621) 1(2222有最小值等于时；当）（）
2、（）（）（）（）（SttStttttStttty例 2：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1 米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解： 设花圃的宽为x米，面积为S平方米则长为：xx4342432(米) 则：)434(xxSxx34424289)417(42x104340x2176x6 417，S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当 2176x内，S随x的增大而
3、减小，当6x时，60 4289)4176(42 maxS(平方米 ) 答：可设计成宽6米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大例 3：已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中 AF=2 ，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积解： 设矩形 PNDM 的边 DN=x ，NP=y，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（2x4 ）易知 CN=4-x ，EM=4-y 过点 B 作 BHPN 于点 H 则有 AFB BHP PHBHBFAF，即3412yx，5 21xy，xxxyS5212)42(x，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，当
4、x5时，函数值y随x的增大而增大，对于42x来说，当x=4 时，12454 212 最大S例 4：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为 0.4 米的正方形ABCD，点 E、F 分别在边BC 和 CD 上， CFE 、 ABE 和四边形 AEFD均由单一材料制成，制成 CFE、ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、 20 元、 10 元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分x组成四边形EFGH (1)判断图 (2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解： (1)
5、四边形 EFGH 是正方形图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺 (逆)时针方向旋转90 后得到的，故 CE=CF =CG CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形(2)设 CE=x, 则 BE=0.4x，每块地砖的费用为y 元那么： y=x 30+ 0.4 (0.4-x) 20+0.16-x- 0.4 (0.4-x) 10 )24.02. 0(102xx3 .2) 1 .0(102x)4 .00(x当 x=0.1 时， y 有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1答：当 CE=CF=0.1 米时，总费用最省2(2008 庆阳市 )兰州市 “ 安居工程 ” 新建
6、成的一批楼房都是8 层高，房子的价格 y(元/平方米 )随楼层数x(楼)的变化而变化 (x=1，2，3，4，5， 6，7，8)；已知点 (x，y)都在一个二次函数的图像上，(如图所示 )，则6 楼房子的价格为元/平方米提示：利用对称性，答案：20803如图所示，在一个直角MBN的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为 ( D ) A424m B6 m C15 m D25m 解： AB=x m，AD=b，长方形的面积为y m2AD BC MAD MBN MBMABNAD，即5512xb，)5
7、(512xb)5(512)5(5122xxxxxby, 当5.2x时，y有最大值4(2008 湖北恩施 )将一张边长为30 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体当取下面哪个数值时，长方体的体积最大（C ）A7 B6 C5 D45如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是： 35321212xxy，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A6 m B12 m C8 m D10m 解： 令0y，则：02082xx0)10)(2(xxx yOA B MO（图 5）（图 6）（图 7）6某幢建筑物，从10 m 高的窗口A，用水管向外喷
8、水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图 6， 如果抛物线的最高点M 离墙 1 m，离地面 340m，则水流落地点B 离墙的距离OB 是 ( B ) A2 m B3 m C4 m D 5 m 解： 顶点为)340, 1(，设340) 1(2xay，将点)10,0(代入，310a令0 340) 1(3102xy，得：4)1(2x，所以 OB=3 7 (2007 乌兰察布 )小明在某次投篮中， 球的运动路线是抛物线213.55yx的一部分，如图7 所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（B ）A4.6m B4.5m C4m D 3.5m 8某居民小区要在一块一边靠墙(墙长1
9、5m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成 若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m2)(1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（ 2）根据（ 1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(xxy)20(22xx200)10(22x152400x205 .12x二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当205.12x内，y随x的增大而减小，当5.12x时，5.187200)105 .12(22 maxy(平方米 ) 答：当5.12x米时花园的面积最
10、大，最大面积是187.5 平方米9如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n 是大于 1 的整数 )道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2) 的结果，你能得到什么结论？x解： (1)长为 x 米，则宽为 350x米，设面积为S平方米)50(313502xxxxS3625)25(312x当25x时， 3625 maxS(平方米 ) 即：鸡场的长度为25 米时，面积最大(2) 中间有n道篱笆，则宽为250nx米，设面积为S平方米则
11、：)50( 212502xxnnxxS2625)25(212nxn当25x时， 2625 maxnS(平方米 ) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25 米即：使面积最大的x值与中间有多少道隔墙无关15(08 山东聊城 )如图，把一张长10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （1） 要使长方体盒子的底面积为48cm2， 那么剪去的正方形的边长为多少？（2） 你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）
12、如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2 个同样大小的正方形和2 个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖 的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由解： （1）设正方形的边长为cm，则即解得（不合题意，舍去） ，剪去的正方形的边长为1cm（2）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：即改写为当时，即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2（3）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2若按图 1 所示的方法剪折，则与的函数关系式为：
13、xxxxy22102)28(2即当时，若按图 2 所示的方法剪折，则与的函数关系式为：xxxxy2282)210(2即当时，比较以上两种剪折方法可以看出，按图2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2二次函数的实际应用面积最大(小) 值问题 2013-12-8 15008620708（李老师）姓名：例 1：在矩形ABCD 中， AB=6cm ，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿AB 边 向点 B 以 1cms 的速度移动，同时点Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动，如果P、Q
14、两点同时出发，分别到达B、C 两点后就停止移 动（1）运动第t 秒时， PBQ 的面积 y(cm2)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出 S 与 t 的函数关系式，并指 出自变量的取值范围（3） t 为何值时s 最小，最小值时多少？例 2：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10 米的围墙，为了美化生 活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一 条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1 米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？练习如图，要建一个长方形养鸡
15、场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n 是大于 1的整数 )道篱笆隔墙， 要使 鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？例 3：已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其 中 AF=2 ，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积例 4：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4 米的正 方形 ABCD，点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上， CFE、 ABE 和四边形
16、AEFD均由单一材料制成，制成 CFE、ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方 米价格依次为30 元、 20 元、 10 元，若将此种地砖按图 (2)所示的形式铺设，且能使中间 的阴影部分组成四边形EFGH (1)判断图 (2)中四边形EFGH 是何形状，并说 明理由；(2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需 的材料费用最省？例 5如图，把一张长10cm，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去 一个同样大小的正方形，再折合x成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有， 请你求出最大值和此时剪
