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1、1 一元二次方程的根与系数的关系 一、目标认知 学习目标1掌握一元二次方程的根与系数的关系；2能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值；3能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；4能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程重点对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用难点一元二次方程的根与系数的关系的运用二、知识要点梳理一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个实根是x1， x2，那么. 注意它的使用条件为a0， 0. 三、规律方法指导一元二次方程根与系数的关系的用法：不解方程
2、，检验两个数是否为一元二次方程的根；已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值；已知方程的两根，求这个一元二次方程；已知两个数的和与积，求这两数；已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；讨论方程根的性质四、经典例题透析 1. 已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0 一个根为2，求另一个根及m 的值 . 思路点拨： 本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2 代入原方程，先求出 m 的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及 m 的值 .
3、 解：法一：把x=2 代入原方程，得22-62+m2-2m+5=0 即m2-2m-3=0 解得 m1=3，m2=-1 当 m1=3，m2=-1 时，原方程都化为x2-6x+8=0 x1=2，x2=4 方程的另一个根为4，m 的值为 3 或-1. 法二：设方程的另一个根为x. 2 则2. 判别一元二次方程两根的符号.2.不解方程，判别2x2+3x-7=0 两根的符号情况. 思路点拨： 因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式，但只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1x2或 x1+x2的正负情况 . 解： =32-42 (-7)=650 方程有两个不相等的实数根，
4、设方程的两个根为x1， x2，原方程有两个异号的实数根. 总结升华： 判别根的符号， 需要“根的判别式” ， “根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1x2 0，可判定根为一正一负，若x1x20，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根. 举一反三：【变式 1】当 m 为什么实数时，关于x 的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是 正数 . 思路点拨： 正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零. 解： 设方程的二根为x1，x2，且 x10， x20，则有由 =-2(m+1)2-4m(m-1) 0，解得：
5、m0，m0 或 m0，上面不等式组化为：3 由得m 1；不等式组无解.m1 当 m 1 时，方程的两个根都是正数. 总结升华： 当二次项系数含有字母时，不要忘记a 0 的条件 . 【变式 2】k 为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0 （1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零. 思路点拨： 两根“互为相反数” 、 “互为倒数” ， “有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2，即 x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即 x1x2=1，但要注意考察判别式0. 解： 设方
6、程的两根为x1，x2，则 x1+x2=x1x2=（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即 x1+x2=， k=0，当 k=0 时， =(4k)2-42(k+1)(3k-2)=16 0 当 k=0 时，方程两根互为相反数. （2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即x1x2=1，解得 k=4 当 k=4 时， =(4k)2-42(k+1)(3k-2)=-144 0 k 为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根. （3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即 x1x2=0，解得 k=4 又当 k=时， x1+x2=，当 k=时， =(4k)2-42(k+1
7、)(3k-2)=0，k=时，原方程有一根是零，另一根不是零. 总结升华： 研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，=b2-4ac 不得小于零. 3. 根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.3.关于 x 的一元二次方程x2-3x+k+1=0 的两根的平方和小于5，求 k 的取值范围 . 解： 设方程两根分别为x1，x2，x1+x2=3，x1x2=k+1 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1) 5 k1又 =(-3)2-4(k+1) 0 k由得： 1k. 总结升华： 应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围 . 举一反三：【
8、变式 1】已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大 21，求 m 的值 . 思路点拨： 本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m 的方程，就可求得m 的值 . 解： 方程有两个实数根， =2(m-2)2-41(m2+4)0 解这个不等式，得m0 设方程两根为x1，x2，x1+x2=-2(m-2)x1x2=m2+4 x12+x22-x1x2=21 (x1+x2)2-3x1x2=21 -2(m-2)2-3(m2+4)=21 整理得： m2-16m-17=0 解得： m1=17， m2=-1 又 m0， m=-1.
9、 5 总结升华： 1.求出 m1=17，m2=-1 后，还要注意隐含条件m0，舍去不合题意的m=17. 【变式 2】设与是方程 x2-7mx+4m2=0 的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求 m 的值思路点拨： 利用一元二次方程的根与系数的关系把等式(-1)(-1)=3 转化为关于m 的方程解： 由于与是方程 x2-7mx+4m2=0 的两个根，根据根与系数的关系，有所以，有 (-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3所以，得方程4m2-7m-2=0解这个方程，或 m=2经检验，或 m=2 都能使判别式=(7m)2-4(4m2)=33m2 0，所以，m=2 都符合题意总结升华： 如
10、果所求m 的值使方程没有实数根，就是错误的结果，所以检验的步骤是十分必要的 讨论方程的实数根的问题，只有在判别式的值是非负数时才有意义，在解决问题时应注意这个重要的条件4求简单的关于根的对称式的值在关于一元二次方程的根x1与 x2的式子中， 如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用x1+x2与 x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决如+，(1+x1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与 x1x2表达的式子，如 (1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，+=(x1+x2)2-2x1x2，,等等4.如果
11、与是方程 2x2+4x+1=0 的两个实数根，求的值6 思路点拨：注意到交换与的位置时，代数式不变，所以代数式是关于与的对称式 . 解： =b2-4ac=80， 方程有实根举一反三：【变式 1】已知与是方程 3x2-x-2=0 的两个实数根， 求代数式的值思路点拨：中的与的位置互换时，式子的形式不变，所以它们都是对称式，可以转化为含有与的式子，利用根与系数的关系简化计算解： 由于0，0，所以 0，方程一定有实根于是=把=与=-代入，得=总结升华： 这是一个无理数系数的一元二次方程，如果分别求出根与的值，计算过程将冗长而烦琐，利用根与系数的关系就可以有效地达到简化计算过程的目的，读者如果用求根后
12、代入的方法演算一遍，将会有深刻的体会5利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个已知数是否方程的根，能够求出以两个已知数为根的一元二次方程7 事实上，我们有这样的定理：如果两个实数x1与 x2使得 x1+x2=-p，且 x1x2=q，那么 x1与 x2是方程x2+px+q=0 的两个根证明如下：由于 x1+x2=-p，x1x2=q，那么方程x2+px+q=0 可以化为x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2-x 1x-x2x+x1x2=0，x(x-x1)-x2(x-x1)=0， (x-x1)(x-x2)=0， x=x1或 x=x2这就是说， x1和 x2是方程 x2+px+q=0 的两个根5.
13、判断下列方程后面括号内的两个数是不是方程的根：(1)x2-8x-20=0，(10，-2)；(2)6y2+19y+10=0 ，；(3)a2-2a+3=0，(+，-+)解： (1) 10+(-2)=+8=-(-8) ，10(-2)=-20 ， 10 与-2 是方程 x2-8x-20=0 的两个根；(2) ， -与-是方程 6y2+19y+10=0 的两个根；(3) 虽然有(+)(-+)=+3，但是(+)+(-+)=+2-(-2)；所以+与-+不是方程a2+2a-3=0 的根6.(1) 作一个以 -与为根的一元二次方程；(2)作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0 的两个根的倒数思路
14、点拨： 作一元二次方程，只需利用根与系数的关系求出方程各项的系数解： (1) 由于 -+=-2+=-，-=-=-4，8 所以所求方程是x2+x-4=0 (2) 设 x1与 x2是方程 2x2+5x-8=0 的两个根，所以，有x1+x2=，x1x2=-4所以，于是所求方程是x2-x-=0也就是8x2-5x-2=0 数学史话 历史上的一元二次方程含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为ax2bxc0（a 0） 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数，使它与它的倒数之和等于一个已知数，即求出这样的x1与 x2，使 x1
15、x21，x1x2b，从这两个条件得出关于x 的一元二次方程x2bx10他们先求出，再求出，然后得出解答及由此说明巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式，只是当时他们没有接受负数，所以负根是略而不提的埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程如ax2b希腊的丢翻图 （246330）只承认二次方程的一个正根，即使两根都是正的他也只取一个印度的婆罗摩及多公元628 年写成的婆罗摩修正体系中，得到二次方程x2pxq0 的一个求根式9 x，阿尔花拉子模的代数学中（讨论方程的根法，解出了一次、二次方程，但保留了六种不同的形式，如ax2bx，ax2c，ax2cbx，ax2bxc，ax2bxc 等，且让 a、b、c 总是正数在把二次方程分成不同形式这一点上是照丢番图那样做的），给出了一元二次方程的几种特殊解法，并第一次给出了一元二次方程的一般解法他承认方程有两个根，还允许有无理根存在，只是还未认识虚根复数根的运用是十六世纪意大利的数学家们从解一元二次方程中开始的法国数学家韦达 （ 15401603）已经知道一元二次方程在复数范围内一定有解，并且发现了根与系数的关系我国对一元二次方程的研究历史悠久，我国在公元前4、5 世纪时也掌握了一元二次方程的求根公式 九章算术中“勾股”第二十题就是通过相当于求方程x234x710000的正根而解决的张邱建
