《常微分方程第三版答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程第三版答案.doc（88页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1习题习题 1.21.21 1=2xy,=2xy,并满足初始条件：并满足初始条件：x=0,y=1x=0,y=1 的特解。的特解。dxdy解：解：=2xdx=2xdx 两边积分有：两边积分有：ln|y|=xln|y|=x +c+cydy2y=ey=e+e+e =cex=cex另外另外 y=0y=0 也是原方程的解，也是原方程的解，c=0c=0 时，时，y=0y=02xc2原方程的通解为原方程的通解为 y=y= cexcex ,x=0,x=0 y=1y=1 时时 c=1c=12特解为特解为 y=y= e e. .2x2.2. y y dx+(x+1)dy=0dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条
2、件：并求满足初始条件：x=0,y=1x=0,y=1 的特解。的特解。2解：解：y y dx=-(x+1)dydx=-(x+1)dy dy=-dy=-dxdx2 2ydy 11 x两边积分两边积分: : - -=-ln|x+1|+ln|c|=-ln|x+1|+ln|c| y=y=y1 | ) 1(|ln 1 xc另外另外 y=0,x=-1y=0,x=-1 也是原方程的解也是原方程的解 x=0,y=1x=0,y=1 时时 c=ec=e特解：特解：y=y=| ) 1(|ln 1 xc3 3= =dxdy yxxyy321 解：原方程为：解：原方程为：= =dxdy yy2131 xx dy=dy=d
3、xdx yy2131 xx 两边积分：两边积分：x(1+xx(1+x )(1+y)(1+y )=cx)=cx2224.4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：解：原方程为： dy=-dy=-dxdxyy1 xx1两边积分：两边积分：ln|xy|+x-y=cln|xy|+x-y=c 另外另外 x=0,y=0x=0,y=0 也是原方程的解。也是原方程的解。 5 5 （y+xy+x）dy+(x-y)dx=0dy+(x-y)dx=0解：原方程为：解：原方程为：=-=-dxdy yxyx 2令令=u=u 则则=u+x=u+x 代入有：代入有：xy
4、dxdy dxdu- -du=du=dxdx112 uu x1ln(uln(u +1)x+1)x =c-2arctgu=c-2arctgu22即即 ln(yln(y +x+x )=c-2arctg)=c-2arctg. .22 2xy6.6. x x-y+-y+=0=0dxdy22yx 解：原方程为：解：原方程为： = =+ +- -dxdy xy xx |2)(1xy则令则令=u=u =u+=u+ x xxy dxdy dxdudu=sgnxdu=sgnx dxdx 211ux1arcsinarcsin=sgnx=sgnx ln|x|+cln|x|+cxy7.7. tgydx-ctgxdy=
5、0tgydx-ctgxdy=0解解: :原方程为：原方程为：= =tgydy ctgxdx两边积分：两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=siny= = 另外另外 y=0y=0 也是原方程的解，而也是原方程的解，而 c=0c=0 时，时，y=0.y=0.xccos1 xc cos 所以原方程的通解为所以原方程的通解为 sinycosx=c.sinycosx=c.8 8 + +=0=0dxdy yexy32解：原方程为：解：原方程为：= =e edxdy yey2 x32 2 e e-3e-3e=c.=c.x32y9.
6、x(lnx-lny)dy-ydx=09.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：解：原方程为：= =lnlndxdy xy xy令令=u=u , ,则则=u+=u+ x xxy dxdy dxduu+u+ x x=ulnu=ulnudxduln(lnu-1)=-ln|cx|ln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln1+ln=cy.=cy.xy310.10. =e=edxdyyx解：原方程为：解：原方程为：=e=e e edxdyxye e =ce=ceyx1111 =(x+y)=(x+y)dxdy2解：令解：令 x+y=u,x+y=u,则则= =-1-1dxdy dxdu-1=u-1
7、=udxdu2du=dxdu=dx211 u arctgu=x+carctgu=x+c arctg(x+y)=x+carctg(x+y)=x+c12.12. = =dxdy2)(1 yx 解：令解：令 x+y=u,x+y=u,则则= =-1-1dxdy dxdu-1=-1=dxdu21 uu-arctgu=x+cu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.y-arctg(x+y)=c.13.13. = =dxdy 1212 yxyx解解: : 原方程为：（原方程为：（x-2y+1x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxdy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x
8、+1)dx=0xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(ydxy-d(y -y)-dx-y)-dx +x=c+x=c22xy-yxy-y +y-x+y-x -x=c-x=c2214:14: = =dxdy 25 yxyx解：原方程为：（解：原方程为：（x-y-2x-y-2）dy=(x-y+5)dxdy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(dxy-d(y y +2y)-d(+2y)-d(x x +5x)=0+5x)=0212 212y y +4y+x+4y+x +10x-2xy=
9、c.+10x-2xy=c.2215:15: =(x+1)=(x+1) +(4y+1)+(4y+1) +8xy+8xydxdy221解：原方程为：解：原方程为：= =（x+4yx+4y） +3+3dxdy2令令 x+4y=ux+4y=u 则则= =- -dxdy 41 dxdu 414- -=u=u +3+341 dxdu 412=4=4 u u +13+13dxdu2u=u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)-123tg(6x+c)=tg(6x+c)=(x+4y+1).(x+4y+1).3216:16:证明方程证明方程=f(xy),=f(xy),经变换经变换 xy=uxy=u 可化为变量分离
10、方程，并由此求下列方程：可化为变量分离方程，并由此求下列方程：yx dxdy1 1） y(1+xy(1+x y y)dx=xdy)dx=xdy222 2）= =yx dxdy2222x-2y x2 y证明：证明： 令令 xy=u,xy=u,则则 x x+y=+y=dxdy dxdu则则= =- -，有：，有：dxdy x1 dxdu2xu=f(u)+1=f(u)+1ux dxdudu=du=dxdx) 1)(1 ufux1所以原方程可化为变量分离方程。所以原方程可化为变量分离方程。1 1） 令令 xy=uxy=u 则则= =- - (1)(1)dxdy x1 dxdu2xu原方程可化为：原方程
11、可化为：= =1+1+（xyxy） (2)(2)dxdy xy2将将 1 1 代入代入 2 2 式有：式有：- -= =(1+u(1+u ) )x1 dxdu2xu xu2u=u=+cx+cx22u17.17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解：设（解：设（x x +y+y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x-y=y(x- x x )+)+ y y 则与则与 x x 轴，轴，y y 轴交点分别为：轴交点分别为：x=x= x x - - y=y= y y - -
12、x x yy00 yy00则则 x=2x=2 x x = = x x - - 所以所以 xy=cxy=c000 yy18.18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为 0 0 的曲线方程，其中的曲线方程，其中 = = 。45解：由题意得：解：由题意得：y=y= dy=dy= dxdxxy y1 x1ln|y|=ln|xc|ln|y|=ln|xc| y=cx.y=cx.= = 则则 y=tgy=tgx x 所以所以 c=1c=1 y=x.y=x.419.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比
13、的曲线是抛物线。证明：设证明：设(x,y)(x,y)为所求曲线上的任意一点，则为所求曲线上的任意一点，则 y=kxy=kx则：则：y=kxy=kx +c+c 即为所求。即为所求。2常微分方程习题常微分方程习题 2.12.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.xydxdy2解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyxdxdyy22, 11,0,ln,212并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解., 0) 1(. 22dyxdxy解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycy
14、xyxcycyxydydxxy1ln11, 11, 001ln1,11ln0,1 1123 yxydxdy xy321解：原式可化为：xxyxxyxyxyy xyccccxdx xdyy yxydxdy2222222232232)1 (1)1)(1 (),0(ln1ln21ln1ln2111, 0111 ）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然710ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn 11,)1 (,6ln)1ln(21111,11,0)()( :53322222222222cdxdydx
15、dyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduu uu dxduxudxduxudxdyuxyuxy xyxy dxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx 两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：8. 0; 0;ln,ln,lnln0110000)1 ()1 (4xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdy
