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1、北京科技大学北京科技大学 20032004 学年度第一学期学年度第一学期量子力学与原子物理量子力学与原子物理试题答案试题答案题号一二三四五总分得分学院： 班级： 学号： 姓名： 可能会有用的公式：可能会有用的公式：薛定谔方程：Hith一维定态薛定谔方程： 2222dV xxExm dxh动量算符： pixh高斯积分：2xedx 一。一。30 分分一维无限深方势阱：一维无限深方势阱： 质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：m 0;0,;0,xaV xxxa1。10 分求解能量本征值和归一化的本征函数；nE( )nx2。5 分若已知时，该粒子状态为：，求 时刻该粒0t 121,0(
2、)( )2xxxt子的波函数；3。5 分求 时刻测量到粒子的能量分别为和的几率是多少？t1E2E4。10 分求 时刻粒子的平均能量和平均位置。tEx解：1）10 分22222sin2nnn x aanEma h2）5 分 ,niE tnnx tx eh时刻的波函数：t12121,( )( )2iE tiE t x tx ex ehh3）5 分 时刻测量到粒子的能量为的几率是：t1E211,2x tx t时刻测量到粒子的能量为的几率是：t2E221,2x tx t4）10 分平均能量：22 12 25,24EEEx tEx tx t ix ttmahh平均位置：12 216,cos29EEtaa
3、xx txx th二。二。30 分分一维线性谐振子：一维线性谐振子：质量为的粒子在一维线性谐振子势：中运动。按占有数表象，哈密顿可m22 ( )2mxV x写为：。这里是湮灭算符，是产生算符：$ $1 2Ha ah a a$22miaxpmmiaxpm hh已知一维线性谐振子基态波函数为：1。10 分利用产生算符性质：，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下 01 axx的波函数：；（） 1x 124 2 0m xmxeh h2。10 分假设粒子处在基态，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为， 0x2 粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？3。10 分假设这时粒子波函数仍然保持不变（） ，
4、此时测量粒子能 124 2m xmxeh h量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？解：1）10 分 $124 2 102m xmimxaxxpemh hh利用：，其中：$,dxx pi dxh 2201/4exp2xxmh 22 101/42221/422221/41/43/22222 2 1/41/43/21/4exp221exp221expexp22221expexp22222exidxxaxxmi dxdxxdxxxdx dxxxxxx h 220p22xxx 2）10 分新基态能：02E hh新基态波函数： 112244 2 02mxm xmmxeehh hh3）10 分测量粒子能
5、量取新基态能的几率： 2 21/4 022 220.942833wx 三。三。40 分分两电子波函数：两电子波函数： 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的 或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自 旋部分）时必须是反对称的。 1。15 分假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：。求：和的本征值；12Sssrrr2SrzSr2。15 分假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，和的本征值；2SrzSr3。10 分假设两电子系统哈密顿量为：，分别针对（1） （2）两种情形，求系12
6、HJs srr统的能量。解：1）15 分自旋三重态（spin triplet）空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称：1 2s 对应总自旋平方本征值为：2S22h对应总自旋第三分量本征值分别为：zS,0hh2）15 分自旋单态（spin singlet）空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：1 2A 对应总自旋平方本征值为：02S对应总自旋第三分量本征值分别为：0zS3）10 分哈密顿：，利用：12HJs srr222 12 122Ssss s针对自旋三重态：，对应能量：222123224 24s s hhh2 4TJE h针对自旋单态：，对应能量：221230234 24s s hh23 4SJE h
