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1、1初等数论作业(第三章)1.证明: 若 n 为正整数, 为实数, 则(1) , nn(2) . nnn n 1.1证明:(1)设 n nq r n, 0 r 0, b 0, n 0, 满足 n | an bn, 则n | (an bn)/(ab).证明: 设 pm | n, p 为一个素数, a b t, 若 p t, 则由 pm | an bn, 自然有| pm | (an bn)/t. 现设 p | t, 而tbtb tbannnn)( niiintbin11因为 (1)!) 1).(1(1 1 itbinnntbini iniin 在 i 1, 2, , n 时, i!中含 p 的最高方
2、幂是 111kkkkipi pi pi又因 pi1 | ti1, pm | n, 故由(1)可知pm | .nitbiniin,.,1,1 即 pm | (an bn)/(ab). 把 n 作因子分解并考察每一个素因子, 这就证明了n | (an bn)/(ab). #4.证明: 若 n 5, 2 b n, 则. (1) bnb)!1(13证明: 若 b n, 则 k . 21n证明:断言: 对于2n 的任意 n 1 个正整数中, 至少有一个被另一个所整除. 5设 1 a1 当 n 2t 时, k , 故 a1, , ak为 k(k t1)个小于,21 ntn 21等于 2t 的数, 故 i,
3、 j, 1 i t 1, 因为 1, 2, , n 2t 1 中只能有 t 1 21n个奇数, 故 k 个数 a1, a2, , ak中有一对数 i, j, 1 i 0, 则. kddu)(0)(证明:若 d, 使得(d) k,则(1) 22 | d, 则 u(d) 0 不考虑. (2) 2 | d, 则(d/2, 2) 1, 所以(d) (2d/2) (2)(d/2) (d/2) k. 而 u(d) u(d/2) 0. (3) 2 d, 则(2d) (2)(d) (d) k, 而 u(2d) u(d) 0. | 故u(d) 0 | u(d) k可分成若干对, 每对为 u(d) u(2d) 0
4、. 故. # kddu)(0)(9.证明.ndnudu|22)()(证明:由 u(n)的定义有, 中含有平方因子中不含有平方因子nnnu, 0, 1)(2当 n 中不含有平方因子时, 显然6ndudu|21) 1 ()(当 n 中含有平方因子时, 设 n n02m, n0 1, m 不含平方因子, 则.0)()()()(1|.|02 022 022 ndndmndnddudududu故u2(n). # nddu|2)(其实, 采用类似的方法可证. 其它若, 11,|, 0)(|mnmdukndk10. 证明: 对于任一个素数 p,.ndnpnndpudu|, 01, , 21 , 1),()(
5、是其余情形若若若证明:n 1 结论显然. 若 n p, 1, 则.2)()() 1 () 1 (),()(|pupuuudpudund若(n, p) 1, 则.0)(),()(| ndnddudpudu若 n pn1, n1 1, 则#0)()()()()()(),()(111|1 | ),(| 1),(|ndnd ppdnd pdndndpududupudududpudu11. 证明ndddu nn|2)()( )(证明:n 1 时结论显然.n 1 时, 由于 u(n), (n)均是积性函数, 所以 u2(d)/(d), 也是积性 ndddu|2)()( 7函数. 设 n p11pss, 则
6、右边 . skskskkkkkkkk pp pppu ppukk111221111)()(.)()(1左边 . skkk skks skkss ppppppppppss111111 11 1) 1(.1.11故 . #ndnn ddu|2)()()( 12. 证明: 的充分必要条件是.ndddu|0)()()2(mod0n证明:设 n , p1, , pk为不同的素数, i 1, i 1, 2, , k. k kpp.1 1).().(.)()() 1 () 1 ()()(11 1|kkkiii ndppppuppuuddu kiikkiipp11) 1() 1(.) 1)(1(1kiip1)
7、 11(所以, . #npddui nd|220)()(|某个13. 证明: . )0(2) 1()(1 nnn dndnd证明:n 1 时结论显然.假设对 n k 时成立, 即.2) 1()(1 kk dkdkd则 n k 1 时, 有) 1(1)()(1)(1111 kdk dkddkddkdkdkdkd8 ) 1()(2) 1(11|kdkkkdkd 1|)(2) 1(kddkk 12) 1(kkk . #2)2)(1(kk证法二 因为, 所以 dnkdn11 dnkndndddnd1111)()( dnkndd11)( nkkndd11)( nkknk1)()(1kknnk )(.)3
8、(3)2(2) 1 (nnnn ndddddd|2 |1 |)(.)()(n.21. #2) 1( nn14. 计算 S(n) .nddnudu|)(解:若 n 1, S(1) 1,若 n p1pk, 则S(n) nddnudu|)( u(1)u(p1p2pk) u(p1)u(p2pk) u(pk)u(p1pk1) u(p1p2pk)u(1) (1)k()k kkkCCC.10 2k(1)k若 n p12p2pk, 则S(n) ndk kpppupudnudu|1 211) 1().()()(9其余情形 S(n) 0. # 15. 证明: n 是素数的充分必要条件是(n) (n) nd(n).
9、 证明:“” 若 n 为素数, 则(n) 1 n, (n) n 1, d(n) 2, 所以有(n) (n) nd(n). “” n, d(n), (n), (n)均是极性函数, 若 n 不为素数的方幂, n n1n2, (n1, n2) 1, (n1n2) (n1n2) (n1)(n2) (n1) (n2) (n1)(n1)( (n2) (n2) n1n2d(n1n2).若 n p, 1, (n) 1 p p1 p, (n) p p1, d(n) 1, 1 p p2 2p ( 1)p, 只有 1 时(n) (n) nd(n)才成立, 即 n是素数. #16. 证明: 如果有正整数 n 满足(n
10、 3) (n) 2, (1)则 n 2p 或 n 3 2p, 其中 1, p 3 (mod 4), p 是素数.证明:经验证可知 n 1, 2 不满足(1)式, 设 n 2, 则(n), (n3)均为偶数. 由(1)知(n)和(n3)不能同时被 4 整除, 故只能有(n) 2 (mod 4), (n3) 0 (mod 4)或(n) 0 (mod 4), (n3) 2 (mod 4). 令 n 21p22pkk, 则(n) 211p221(p21)pkk1(pk1). 由于(n)中211, (p21), , (pk1)均被 2 整除, 若(n) 2 (mod 4), 则 n 只能含有一个奇素数因
11、子, 因此 n 有三种情况: (1) n 21, 此时1 2, 故 n 4; (2) n p22, 此时p2满足 p2 3 (mod 4); (3) n 21p22, 此时1 1, p2 3 (mod 4), 即 n 2p22. 因为(4) (1) 2, 所以若(n3) 2 (mod 4), 经类似的分析可得 n 3 p, 2p, 1, p 3 (mod 4). 设 n p, 由(1)得(p3) p p1 2 (2)设 2t | p 3, t 1, 由(2)得p p1 2 (2t(p 3)/2t) 2t1( (p 3)/2t )10 2t1( (p 3)/2t1) (p 3)/22t1即有 p p1 2 (p 3)/2 1, 化简得 p 2p1 3, 也即 3 p1(2p)由于 p 2, 故 3 p1(2p)不能成立. 同样可证 n 3 p时, (1)式不成立, 故n 2p或 n 3 2p. #17. 证明(n) n/d(n).证明:设 n 的标准分解式为, 故sl slppn.1 1(n)d(n) n(11/p1)(11/ps)(l1
