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1、1 北京市东城区 2016-2017 一模数学（理科）第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合2|20Ax xx，|13Bxx，则ABU（A）| 13xx（B）| 11xx（C）|12xx（D）|23xx（2）已知命题:,2npnnN，则p是（A）,2nnnN（B）,2nnnN（C）,2nnnN（D）,2nnnN（3）已知圆的参数方程为12 cos ,2sinxy（为参数），则圆心到直线3yx的距离为（A）1（B）2（C）2（D）2 2（4）已知m是直线，,是两个互相垂直的平面，则“m”是“
2、m”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知向量,a b满足 20ab，2a b，则 (3 + ) ()a bab（A）1（B）3（C ）4（D）52 211正（主）视图侧（左）视图2俯视图（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）13（B）23（C）1（D）43（7）将函数sin(2) 6yx的图象向左平移(0)m m个单位长度，得到函数( )yf x=图象在区间, 12 12上单调递减，则m的最小值为（A） 12（B） 6（ C） 4（D） 3（8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件
3、的概率是0.5的是甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. 甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. 甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. 乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. （A）（B）（C）（D）3 第二部分 （非选择题共 110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。（9）已知复数z满足(1i)2z，则|z_（10）在25 32()xx的展开式中，常数项为_ （用数字作答）. （11） 已知na为等差数列，nS为其前n项和若312S，244aa， 则6S_（12）天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑
4、、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑” ，第三年为“丙寅” ，以此类推排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即 “甲戌”， “乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知2017年为丁酉年，那么到新中国成立100年时，即2049年 为_年（13） 双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线为等边三角形OAB的边,OA OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且| 2AB，则a _ （14）已知函数11,0,2 1( )1,1
5、,2 0,01xf xxxx或和1,01,( )0,01xg xxx或,则(2 )gx_ ；若,m nZ，且()( )( )m g n xg xfx，则mn_ . 4 三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共13 分）在ABC中，23C?（）若225caab，求sinsinBA；（）求sinsinAB的最大值（16） （本小题共13 分）近年来共享单车在我国主要城市发展迅速目前市场上有多种类型的共享单车，有关部门对其中三种共享单车方式（M方式、Y方式、F方式）进行统计（统计对象年龄在1555岁） ，相关数据如表1，表2所示三种共享单车方式人
6、群年龄比例（表1） 不同性别选择共享单车种类情况统计（表2）方式年龄分组M方式Y方式F方式15,25)25%20%35%25,35)50%55%25%35,45)20%20%20%45,555%a20%（）根据表1估算出使用Y共享单车方式人群的平均年龄；（）若从统计对象中随机选取男女各一人，试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率；（）现有一个年龄在2535岁之间的共享单车用户，那么他使用Y方式出行的概率最大，使用F方式出行的概率最小，试问此结论是否正确？（只需写出结论）性别使用单车种类数（种）男女120%50%235%40%345%10%5 FEDPBAC（17） （本小
7、题共14 分）如图，在三棱锥PABC-中，平面PAB平面ABC，APBP，ACBC，60PAB?，45ABC?,D是AB中点，E，F分别为PD，PC的中点（）求证：AE平面PCD；（）求二面角BPA C的余弦值；（）在棱PB上是否存在点M，使得CM平面AEF？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由（18） （本小题共13 分）已知函数1( )2ln()f xxmx mxR（）当1m= -时，求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程；（）若)(xf在(0,)上为单调递减，求m的取值范围；（）设ba ，则max( )mg x因为2 2211( )(1)1(0)g xxxxx，所以当
8、1x时，( )g x有最大值1所以m的取值范围为1,)9 分（）因为ba 0，不等式lnln1babaab等价于lnlnbaba ab即lnbbaaab，令= (1)bt ta，原不等式转化为12ln ttt令1( )2lnh tttt，由（）知1( )2lnf xxxx在(0,)上单调递减，11 所以1( )2lnh tttt在(1,)上单调递减所以，当1t时，( )(1)0h th即当1t时，12ln0ttt成立所以，当时ba 0，不等式lnln1babaab成立13 分（19） （共 14 分）解： （）由题意得2222,2,2,bc aabc解得2,2ab所以椭圆C的方程为22 142
9、xy 5 分（）设点00(,)P xy，11(,)M xy，22(,)N xy11(,)M x y，22(,)N xy在x轴同侧，不妨设12120,0,0,0xxyy射线OM的方程为002yyxx，射线ON的方程为002yyxx，所以0 11 02yyxx，0 22 02yyxx，且22 00142xy过,M N作x轴的垂线，垂足分别为M，N，OMNOMMONNMMN NSSSS=-四边形121211221=()()2yyxxx yx y0201 122112 0011()()2222y xy xx yx yxxxx=-=?-+00 12121222 000441112422yyx xx xx
10、 xxyy由22 110 11 01,42,2xyyyxx得220 11 02()42yxxx，即22 200 102222 00004(2)4(2)2(2)2(2)4xxxxxyxx，12 同理2 202xx，所以，2222 120042x xxy，即1202x xy，所以，2OMNS11(,)M x y，22(,)N xy在x轴异侧，方法同综合，OMN的面积为定值214 分（20） （共 13 分）解： （）由于1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10A，1,2,3, 4,5M，所以6,7,8,9,10N，5,6,7,8,9N，4,5,6,7,8N3, 4,5,6,7N，2,3, 4,5
11、,6N，回答其中之一即可 3 分（）若集合12,nAa aaL，如果集合A中每个元素加上同一个常数t，形成新的集合12,nMat atatL. 5 分根据1()|ji ijnT Aaa定义可以验证：()()T MT A. 6 分取1ni iCatn，此时111 12,nnniii iii nCaCaCaBaaannnL. 通过验证，此时( )( )T BT A，且1ni ibC. 8 分（）由于2m 321314121( )()()()()mT AaaaaaaaaL324222()()()maaaaaaL4323()()maaaaLM221()mmaa121212=(21)(23)(23)(21)mmmmmamaaamamaLL212121=(21)()(23)()()mmmmmaamaaaaL2121=(21)()(23)()()mmmmbamaaaaL 11 分由于2120maaba，2230maaba，2340maaba，M10mmaaba. 13 所以2(21)()( )()mbaT Am ba. 13 分
