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1、量子力学专题讲座量子力学专题讲座-试题讲解试题讲解南京师范大学南京师范大学1998 年研究生入学考试试卷年研究生入学考试试卷学科专业：理论物理考试科目：量子力学（548）一、 （10 分）若要使电子的德布罗意波长达到 1 米，那么电子的速度应为多少？若将电子换为中子，其速度又为多少？通过计算，你认为宏观尺度上的物质波是否现实？解: 设粒子速度远小于光速,则2 21 22pEmvm由德布罗意关系hhhvpmvm对电子31279.10908 10, 1.67482 10enmkgmkg代入346.62559 10hJ s得到34 3 316.62559 100.727361 10/9.109081
2、e ehvm sm 34 7 276.62559 103.95600 10/1.67482 101n nhvm sm 显然要实现宏观尺度上的物质波, 电子、中子的速度（能量）必须很小，比极低温度下的热运动能还小，这实际上是不可实现的。二、 （10 分）已知作一维运动的自由粒子的位置与动量之间的测不准关系为，导出其时间与能量2hxpx之间的测不准关系。解：, Epp pmxtpEmmp 所以2x pt E h三（15 分）（1）计算下列对易关系：。, ,2 zzxyLsyLpy解：2,2, (), ,0yyyxzyzyyzzypy y py pyi yLyypzpyypyzpyz pyi zs
3、L hh（2）若算符与它们的对易子都对易，证明：BA,BA,1BABnBAnn,1BAAnBAnn证：用数学归纳法。当时等式成立1n 设 为时等式成立n1n12 ,(1) , nnA BnBA B当为 时n1121111 , , , , (1) , , (1) , , nnnnnnnnA BBA BA BBBA BnBA B BBA BnBA BnBA B同理可证,1BAAnBAnn（3）证明在有心力场中运动的粒子，其角动量守恒。（不考虑自旋）证：在有心力场中，哈密顿为$222 2211( )2HrLV rm rrrr h其中角动量平方算苻只与有关, 显然有， $2,0LH ,0HL又角动量算
4、苻不显含时间所以是守恒量。$2,L L四、 （10 分）一个质量为 m 的粒子在势阱中运动，求其基态，第一、二激 0,0,21 )(22xxxmxV发态的能量。解：这是半谐振子势，它的解是谐振子势解中满足(0)0的那些解（奇函数解）22/2( )(), n=1,3,5,.x nnnxN eHx所以基态为 n1，第一激发态为 n3，第二激发态为 n5相应的能量为1353711,222EEEhhh五、设有 5 个没有相互作用的质量为 自旋为 1 的粒子，在一维谐振子势阱中运动，问其22 21)(xxV体系的基态能量为多少？若将这 5 个粒子换成自旋为的粒子（质量仍为 ） ，则体系的基态能量又为21
5、多少？解：自旋为 1 时为波色子, 五个粒子可以处在同一个状态, 所以体系的基态能量为152h自旋为 1/2 时,为费米子, 一个能级上最多只能有两个自旋相反的粒子,所以基态能量为135132212222 hhhh六、 （15 分）计算算符的本征值与本征 vvIA0函数，其中为常数， 为单位矩阵，为泡v,0Iv22 v利算符。若，则本征值与本征函1, 0, 00zyx数为多少？解: 在表象,算苻的矩阵表示为 ()zzsA000010A=011001010 0110001xxyyzzxyzzxyxyzi ii i 本征方程为00zxyxyziaaibb 久期方程为00002222 00000zx
6、yxyzzzxyxyzxyi iii 本征函数, 0 0 0 000()()zxyxyzxyzxyziaa ibbiabbiba 归一化2221212zzabaa 本征函数为22zxyzi 同理对0 0 0 000()()zxyxyzzxyxyziaa ibbaibaiab 归一化2221212zzabbb 本征函数为22xyzzi 若1, 0, 00zyx1, 1 10, 01 七、对于单电子原子，其哈密顿量为 SLrWrVHvvh)()(222（1）试证明轨道角动量 和自旋 不是守恒量，总LvSv角动量是守恒量。SLJvvv（2）若自旋轨道相互作用可当作微扰，计 SLrWvv)(算此系统的
7、能量到一级修正。 （的本)(2220rVHh征能量为，本征函数：为自)0( nEsslmnllYrR,),()(旋波函数）解: (1) 证:2 20( )( )( )2HV rW r L SHW r L S vvvvh0,( ),( )( ),( )HHW r L SW r L SW rW r i LLLLL L SL Svvvvh0,( ),( )( ),( )HHW r L SW r L SW rW r i SSSSL S SL Svvvvh它们与哈密顿不对易,所以不是守恒量. 222()2 1 22222JLSLSL SL SJLS02222222,( )1,( )21,( )21,(
8、)02HHW r L SW rW rW r JJJJJLSJLSLSLSvv同理222022,( )2,( )0HHW r L SW r JJJLSL SL Svv所以是守恒量.,2JJ（2）若自旋轨道相互作用可当作微扰，计 SLrWvv)(算此系统的能量到一级修正。 （的本)(2220rVHh征能量为，本征函数：为自)0( nEsslmnllYrR,),()(旋波函数）解: 查考周世勋书 213-214 页由于的本征值是简并的,可用简并情况下的微扰理论求解.既0H首先把属于本征值的本征函数叠加起来作为零级近似波函0H0 nE数,解久期方程,求出本征值的第一级近似和对应本征函数的 HnE零级近
9、似. 属于本征值的本征函数可以选用无耦合表象的0H0 nE基矢,也可以选用耦合表象的基矢.选用耦合表象比较方便,因为解久期方程相当于把微扰哈密顿在所选用的表象中的矩阵对角化,而(或)在耦合表象是对角化的.所以用耦合表象的基矢的叠 H SL加作为的零级近似本征函数,可以省去解久期方程的步骤 H令nljm ljmljmc矩阵元可写为 ,2202222202 220(), , , ,( )( ), , ,13( )( ), ,() , ,243 (1)(1)( )( )24l j m ljmnlnlnll lj jm mHn lj m H n l j mRr W r r dr lj ml j mRr
10、 W r r dr lj mJLl j mj jl lRr W r r dr L Shh令2 22 , 03 (1)(1)( )( )24nljnlHj jl lRr W r r dr h则mmjjllLJMljmmjlHH ,)(代入(5.2-3)0)()1( ,ljmmmjjll ljmnljmmjlcEH得到0)1(ljmnnljcEH由此得到能量的一级修正2 (1)(1)2203 (1)(1)( )( )24nnljnlEEj jl lRr W r r dr h八、现有一两电子体系，已知一个电子处于的本征态，计算：2hxs（1）体系的自旋波函数，（2）总自旋 S 的可能值与相应的几率，
11、（3）和的平均值。2Szs 解: 两电子耦合共有四种状态(查考周世勋书 224 页)反对称的自旋单态1 2A 和对称的自旋三态1231 2SSS 常用物理常数：秒焦耳341063. 6h千克311011. 9em千克271067. 1nm大连理工大学 2002 年一 玻尔量子论的核心思想有哪两条？二 波函数为 =exp(ikx-it)的平面波的群速度和相速度。三 简述定态的概念和和处于定态下的粒子具有什么样的特征？中山大学 2001 年简述态叠加原理和它对态函数所服从的波动方程的限制。中山大学 2002 年1 什么叫做定态，定态应该具有什么样的形式？2 假设力学量 F 不显含时间 t,那么在任
12、意定态下的平均值与时间无关。河南师范大学 1996 年假设一维谐振子处于 的态中，求（1）势能的平均值（2）在何处找到粒子的几率最大。河南师范大学 1998 年1假设一维粒子出于 的状态，求（1）粒子动量的平均值（2）几率的最大位置。2河南师范大学 1999 年1 写出德布罗意关系式，并且比较 1000eV 的质子和 10000eV 的电子谁的德布罗意波长长（只要求数量级正确） 。2 氢原子处于基态 ， （a0 为玻尔半径）求（1）势能的平均值（2）最可几半径。河南师范大学 2000 年已经知道粒子的状态用 （x,y,z）表示，求粒子处于 z1 - zz 范围内的几率。河南师范大学 2002 年1 为什么说微观粒子的状态可以用波函数来完全描述？2 量子态叠加原理和经典的态叠加原理有什么本质的区别？河南师范大学 2002 年1 什么是光电效应，光电效应有什么特点。2 经典波和几率波有什么区别？3 原子的轨道半径在量子力学中如何解释？中国科学院 -中国科学技
