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1、第 1 页 共 22 页2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题年中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠释一、中考专题诠释 所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新 运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、 推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重 视学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲二、解题策略和解法精讲 “新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移
2、 三、中考典例剖析三、中考典例剖析 考点一：考点一：规律题型中的新概念规律题型中的新概念 例例 1 （2012永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 1，3，9，19，33，就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公 差如 2，4，6，8，10 就是一个等差数列，它的公差为 2如果一个数列的后一个数与前 一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列 1，3，9，19，33，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 2，6，10，14，这是一个公差为 4 的等差数列，
3、所以，数列 1，3，9，19，33，是 一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列 1，3，7，13，的第五个数应是 思路分析：思路分析：由于 3-1=2，7-3=4，13-7=6，由此得出相邻两数之差依次大 2，故 13 的后 一个数比 13 大 8 解答：解：由数字规律可知，第四个数 13，设第五个数为 x， 则 x-13=8，解得 x=21，即第五个数为 21， 故答案为：21 点评：点评：本题考查了数字变化规律类问题关键是确定二阶等差数列的公差为 2 对应训练对应训练1 （2012自贡）若 x 是不等于 1 的实数，我们把 称为 x 的差倒数，如 2 的差倒数是 1 1x=-1，-1 的差
4、倒数为 = ，现已知 x1=- ，x2是 x1的差倒数，x3是 x2的差1 1 21 1 ( 1) 1 21 3倒数，x4是 x3的差倒数，依次类推，则 x2012= 考点二：运算题型中的新概念考点二：运算题型中的新概念 例例 2 （2012菏泽）将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成，概念=ad-bc，上述记号就叫做 2 阶行列式若=8，则 x= abcdabcd1 111xxxx 思路分析：思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即 为 x 的值解：解：根据题意化简=8，得：（x+1）2-（1-x）2=8，1 111x
5、xxx第 2 页 共 22 页整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即 4x=8， 解得：x=2 故答案为：2 点评：点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式， 去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键 对应训练对应训练2 （2012株洲）若（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）（6，8）= 考点三：考点三：探索题型中的新概念探索题型中的新概念 例例 3 （2012南京）如图，A、B 是O 上的两个定点，P 是O 上的动点（P 不与 A、B 重合） 、我们称APB 是O 上关于点 A、B 的
6、滑动角 （1）已知APB 是O 上关于点 A、B 的滑动角， 若 AB 是O 的直径，则APB= ； 若O 的半径是 1，AB=，求APB 的度数；（2）已知 O2是O1外一点，以 O2为圆心作一个圆与O1相交于 A、B 两点，APB 是 O1上关于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交O2于 M、N（点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合） ，连接 AN，试探索APB 与MAN、ANB 之间的数量关系思路思路分析：分析：（1）根据直径所对的圆周角等于 90即可求解；根据勾股定理的逆定理可得AOB=90，再分点 P 在优弧上；点 P 在劣弧上两种 情况讨论求解；（2）根据点 P
7、在O1上的位置分为四种情况得到APB 与MAN、ANB 之间的数量关 系 解：解：（1）若 AB 是O 的直径，则APB=90 如图，连接 AB、OA、OB 在AOB 中， OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2 AOB=90当点 P 在优弧上时，AP1B= AOB=45；当点 P 在劣弧上时，AP2B= （360AOB）=1356 分（2）根据点 P 在O1上的位置分为以下四种情况 第一种情况：点 P 在O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如 图 MAN=APB+ANB，APB=MANANB；第 3 页 共 22 页第二种情况：点 P 在O2
8、外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间，如图 MAN=APB+ANP=APB+（180ANB） ，APB=MAN+ANB180；第三种情况：点 P 在O2外，且点 M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图 APB+ANB+MAN=180，APB=180MANANB，第四种情况：点 P 在O2内，如图， APB=MAN+ANB点评：点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大， 注意分类思想的运用 对应训练对应训练 3 （2012陕西）如果一条抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那
9、么以该抛物线 的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” （1） “抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线 y=-x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值； （3）如图，OAB 是抛物线 y=-x2+bx（b0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O 为 对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在， 说明理由第 4 页 共 22 页考点四：考点四：开放题型中的新概念开放题型中的新概念 例例 4 （2012北京）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2）的“
10、非常距离”，给出如下概念： 若|x1-x2|y1-y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|x1-x2|； 若|x1-x2|y1-y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|y1-y2| 例如：点 P1（1，2） ，点 P2（3，5） ，因为|1-3|2-5|，所以点 P1与点 P2的“非常距离”为|2- 5|=3，也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与 垂直于 x 轴的直线 P2Q 交点） （1）已知点 A（-，0） ，B 为 y 轴上的一个动点，1 2 若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B
11、的坐标； 直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值；（2）已知 C 是直线 y=x+3 上的一个动点，3 4 如图 2，点 D 的坐标是（0，1） ，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的 坐标； 如图 3，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离” 的最小值及相应的点 E 与点 C 的坐标思路分析：思路分析：（1）根据点 B 位于 y 轴上，可以设点 B 的坐标为（0，y） 由“非常距离”的 概念可以确定|0-y|=2，据此可以求得 y 的值；设点 B 的坐标为（0，y） 因为|- -0|0-y|，所以点 A 与点
12、B 的“非常距离”最小值为|- 1 2-0|= ；1 21 2第 5 页 共 22 页（2）设点 C 的坐标为（x0，x0+3） 根据材料“若|x1-x2|y1-y2|，则点 P1与点 P2的“非3 4常距离”为|x1-x2|”知，C、D 两点的“非常距离”的最小值为-x0= x0+2，据此可以求得点 C3 4 的坐标；当点 E 在过原点且与直线 y= x+3 垂直的直线上时，点 C 与点 E 的“非常距离”最小，3 4即 E（- ， ） 解答思路同上3 54 5 解：解：（1）B 为 y 轴上的一个动点， 设点 B 的坐标为（0，y） |-0|=2，1 21 2 |0-y|=2， 解得，y=
13、2 或 y=-2； 点 B 的坐标是（0，2）或（0，-2） ；点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为；1 2（2）C 是直线 y=x+3 上的一个动点，3 4设点 C 的坐标为（x0，x0+3） ，3 4-x0=x0+2，3 4此时，x0=-，8 7点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为：，8 7此时 C（-，） ；8 715 7E（-，） 3 54 5-x0=x0+3-，3 53 44 5第 6 页 共 22 页解得，x0=-，8 5则点 C 的坐标为（-，） ，8 59 5 最小值为 1 点评：点评：本题考查了一次函数综合题对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条 件本题中的“
14、非常距离”的概念是正确解题的关键 对应训练对应训练 4 （2012台州）请你规定一种适合任意非零实数 a，b 的新运算“ab”，使得下列算式成 立：12=21=3， （-3）（-4）=（-4）（-3）=- ， （-3）5=5（-3）=- ，7 64 15 你规定的新运算 ab= （用 a，b 的一个代数式表示） 考点五：考点五：阅读材料题型中的新概念阅读材料题型中的新概念 例例 5 （2012常州）平面上有两条直线 AB、CD 相交于点 O，且BOD=150（如图） ，现 按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”： （1）点 O 的“距离坐标”为（0，0） ； （2）在直线 CD 上，且到直线
15、AB 的距离为 p（p0）的点的“距离坐标”为（p，0） ；在直 线 AB 上，且到直线 CD 的距离为 q（q0）的点的“距离坐标”为（0，q） ； （3）到直线 AB、CD 的距离分别为 p，q（p0，q0）的点的“距离坐标”为（p，q） 设 M 为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n） ，根据上述对点的“距离坐标”的规定，解 决下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： 满足 m=1，且 n=0 的点 M 的集合； 满足 m=n 的点 M 的集合； （2）若点 M 在过点 O 且与直线 CD 垂直的直线 l 上，求 m 与 n 所满足的关系式 （说明： 图中 OI 长为一个单位长）思路分析：思路分析：（1）以 O 为圆心，以 2 为半径作圆，交 CD 于两点，则此两点为所求； 分别作BOC 和BOD 的角平分线并且反向延长，即可求出答案； （2）过 M 作 MNAB 于 N，根据已知得出 OM=n，MN=m，求出NOM=60，根据锐角三角函数得出 sin60=，求出即可MN OMm n 解：解：（
