长方体和正方体-第四

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1、五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体 曹威 第四讲 长方体和正方体 4.1 H GFBDCAEbc abcabcaH GFBDCAE第四讲第四讲 长方体和正方体长方体和正方体 在小学奥数的学习当中，除了平面几何图形的研究与学习之外，还有立体图形。比如今天我们学习的长方体和正方体，还有之后要学习到的旋转体，如：圆柱体，圆锥体等等。在立体几何图形的学习中，除了要求我们具备扎 实的平面图形基本功以外，对我们的空间思维的能力要求也是比较高的，因此本讲的学习可以培养我们的空间感，提高我们的空间想象能力。 本讲大致可以分为两大部分。表面积的计算和体积的计算。 一、一、 长方体与正方体的认知长方体与正方体的

2、认知 “点动成线，线动成面，面动成体点动成线，线动成面，面动成体”。所以长方体是由平面图形长方形从平面中“拔” 出来的。因此长方体有 8 个顶点（A、B、C、D、E、F、G、H）,12 条棱（长 AB 这样 的共 4 条，宽 BC 这样的共 4 条，高 BF 这样的共 4 条） ，6 各面（前后，左右，上下） 当然正方体是特殊的长方体。6 个面都是正方形，12 条棱都是正方形的边长。 二、知识点运用二、知识点运用 （一）表面积的计算（一）表面积的计算 1、从长方体中分割出一块以后的立体图形面积、从长方体中分割出一块以后的立体图形面积 例例 1 1、法 1：新几何体的表面积与原正方体的面积是一样

3、的， 因为新几何体图 4.1 中的 a、b、c 三个外露的面分 别可以弥补原几何体图 4.2 中的 a、b、c 三个面。 图图 4.4.1 1 图图 4.4.2 2 法 2：也可根据三视图的方法解答此题。 从前往后看 从上往下看 从右往左看 无论从哪个角度看都看全了整个正方形的面积，所以总面积即为原正方体六 个正方形面的总面积 解答：表面积解答：表面积=8=8 =384=384 这是从正方体的这是从正方体的角上角上挖去一个长方体，从中我们发现立体图形的表面积不发生任何变化。若是从挖去一个长方体，从中我们发现立体图形的表面积不发生任何变化。若是从棱棱上或上或面面 上挖去一个长方体， 更或者所挖去

4、的长方体是打上挖去一个长方体， 更或者所挖去的长方体是打穿的穿的呢？表面积也会不变吗？下面我们一起研究总结一下有关呢？表面积也会不变吗？下面我们一起研究总结一下有关 从长方体中分割出一块小立体图形以后的新立体图形表面积的变化问题。从长方体中分割出一块小立体图形以后的新立体图形表面积的变化问题。 顶点 棱 面 表面积 体积 图形 长 方 体 A、B、C、D E、F、G、H 共 8 个 长：AB、CD、HG、EF 宽：FG、EH、AD、BC 高：AE。BF。CG。DH 共 3 组，12 条 前后 2 个面 ABFE 和 DCGH 左右 2 个面 AEHD 和 BFGC 上下 2 个面 ABCD 和

5、 EFGH 共 6 个面 S=2 (a b+ + c ) V=abc 正 方 体 A、B、C、D E、F、G、H 共 8 个 12 条全是一样的 6 个面全是一样的正方形 形如 ABFE S=6 V= HGFCABDE五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体 曹威 第四讲 长方体和正方体 4.2 2482 4D8248BFCGHEBFCGHEBFCGHEADAAD342bca342BFCH GEBFCH GEADAD图图 4.1角上角上 图图 4.3棱上棱上 图图 4.4面上面上 拓展练习： （拓展练习： （1 1）如）如图图 4.3从棱长为从棱长为 8 8 的正方体的棱上挖去一个的正方体的棱上挖

6、去一个 2 2 的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？ 分析：由图 4.3 可知，挖去后新几何体中的 EFHG 面可弥补原正方体的 ABCD 面。同样，BFHC 面可弥补 AEGD 面， 此时与原正方体表面积完全一样，但还缺两个面积，即 AEFB 和DGHC。因此，新几何体的表面积总体来说 比原来正方体的总面积多两个 AEFB 的面积。 解答：表面积解答：表面积=8=8 + +（2 2 ） =396=396 （2 2）如图如图 4.44.4 从棱长为从棱长为 8 8 的正方体的面上挖去一个的正方体的面上挖去一个 2 2 的长方体形成一个

7、新的几何体，求该几何体的表面积？的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？ 分析：由图 4.4 可知，挖去后新几何体中的BFHC 面可弥补原正方体的 AEGD 面。此时已经构成了原正方体的6 个 表面积，但还缺挖去后产生的内壁四个面积 AEFB、ABCD、DCHG、EFHG. 因此，新几何体的表面积总体来说 比原来正方体的总面积多四个内壁面积。 解答：表面积解答：表面积=8=8 + +（2 2 ） + +（2 2 ） =412=412 图图 4.5角上角上 挖穿挖穿 图图 4.6 棱上挖穿棱上挖穿 图图 4.7面上面上 挖穿挖穿 （3）如图如图 4.5 从棱长为从棱长为 8 8 的正方体

8、的角上挖去一个的正方体的角上挖去一个 2 2 的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？ 分析：由图 4.5 可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面共少了 2 个 AEHD 面，而左右面，上下面没 有发生变化， （AEFB 面可弥补 DHGC 面，EHGF 面可弥补 ABCD 面） ，因此，新几何体的表面积总体来说比 原来正方体的总面积少了两个 AEHD 面。 解答：表面积解答：表面积=8=8 - -（2 2 ） =368=368 （4 4）如图如图 4.6从棱长为从棱长为 8 8 的正方体的棱上挖去一个的正方体的棱上挖去一个 2

9、2 的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？ 分析：由图 4.6 可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了 2 个 AEHD 面，而左右面共多了 2 个 AEFB 面，上下面则没有发生变化， （ EHGF 面可弥补 ABCD 面） 。因此，新几何体的表面积总体来说比 原来正方体的总面积少了 2 个 AEHD 面而多了 2 个 AEFB 面。 解答：表面积解答：表面积=8=8 - -（2 2 ） + +（2 2 ） =400=400 （5 5）如图如图 4.7从棱长为从棱长为 8 8 的正方体的面上挖去一个的正方体的面上挖去

10、一个 2 2 的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？ 分析：由图 4.7 可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了 2 个 AEHD 面，而左右面共多了 2 个 AEFB 面，上下面也多了 2 个 EHGF 面。因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积少了 2 个 AEHD 面而多了 4 个内壁面积（2 个 AEFB+2 个 EHGF） 。 解答：表面积解答：表面积=8=8 - -（2 2 ） + +（2 2 ） + +（4 4 ） =464=464 五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体 曹威 第四讲 长方体和

11、正方体 4.3 bacd通过以上几个例题分析我们发现，都是从正方体中挖去一个小长方体，由于小长方体的位置关系所以新通过以上几个例题分析我们发现，都是从正方体中挖去一个小长方体，由于小长方体的位置关系所以新 几何体的表面积也是不一样的，但其中仍是有规律可循的。现总结如下。几何体的表面积也是不一样的，但其中仍是有规律可循的。现总结如下。 注：必须清楚多的注：必须清楚多的是是哪几哪几个面，个面，少的少的是是哪几个面哪几个面。 拓展练习：拓展练习： 1、 在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体， 如图 4.8 所示。 求该几何体的表面积？答案：（答案：（214214） 2、在

12、一个棱长为 6 厘米的正方体的面上连续挖去两个棱长分别为 4 厘米和 2 厘米的正方体，构成如图 4.9 所示的 新几何体，求新几何体的表面积。答案： （答案： （296296） 3、有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别从它的角上，棱上，面上各挖掉一个大小相同的小正方体后，表面积变为 2454 平方厘米， （如图 4.10）那么挖去的小立方体的边长是多少厘米？答案：答案：3 3 2、切刀问题、切刀问题 切刀问题也是立体图形中表面积的常考题，其关键就是：切一刀，增加切刀问题也是立体图形中表面积的常考题，其关键就是：切一刀，增加2 2个面的面积（与刀面平个面的面积（与刀面平 行的行的2 2 个

13、面）。如图个面）。如图4.114.11 图图4.11 4.11 竖直方向切一刀增加竖直方向切一刀增加a a和和b b两个绿面两个绿面 水平方向切一刀增加水平方向切一刀增加c c和和d d两个黄面两个黄面 例2、看分割后总共切了几刀。水平方向锯成3片，因此需要切2刀，同样锯成4条需要切3刀，再锯成 4小块也需要3刀。总共切了2+3+3=8刀，则增加6 2=12个面。因为是正方体，所以12 个面都是 相同的。最后48 块小长方体的表面积和为原有的正方体的表面积再加上增加的12 个面的面积。 解答：表面积解答：表面积= （ ） （ ） 例4、锯成5块需要4刀，因此表面积增加4 个面，也就是说8个面的

14、面积为96平方厘米一个面的面 积就是96 平方厘米，体积=12 立方厘米。 （没必要知道边长具体是多少，因为 我们需要的是底面积 高） 2.4米=240厘米 解答：体积解答：体积=96 （ ） 没有挖穿 挖穿 角上挖去 表面积不变。 少 2 个穿透面。 棱上挖去 多 2 个面。 少 2 个穿透面，多 2 个内壁面。 面上挖去 多 4 个面。 少 2 个穿透面，多 4 个内壁面。 五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体 曹威 第四讲 长方体和正方体 4.4 cab拓展拓展练习练习： （： （1）一个棱长为）一个棱长为2米的正方体木块，沿水平方向将他锯成米的正方体木块，沿水平方向将他锯成3片，每片有

15、锯成片，每片有锯成4长条，每长条又锯成长条，每长条又锯成5小块，共得到大大小小块，共得到大大小 小的长方体小的长方体60块，那么这块，那么这60块长方体表面积的总和是多少平方米？块长方体表面积的总和是多少平方米？答案：答案：96平方米平方米 （2）三个小正方体拼成如图右所示，表面积比原来少了三个小正方体拼成如图右所示，表面积比原来少了100平方厘米，求这个图形的体积？平方厘米，求这个图形的体积？ 答案：答案：375375立方厘米立方厘米 3 3、堆积体的表面积问题、堆积体的表面积问题 对于由若干个小正方体堆积而成的不规则立体图形的表面积对于由若干个小正方体堆积而成的不规则立体图形的表面积，只要掌握“三视图”的这个法宝即可。只要掌握“三视图”的这个法宝即可。 例3、