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1、曲线论部分习题11. 计算下列曲线从t = 0起的弧长:(1) 双曲螺线r = (acosht,asinht,bt)(2) 悬链线r = (t,acosht a,0) (3) 曳物线r = (acost,aln(sect + tant) asint,0)2. 求平面曲线在极坐标方程 = ()下的弧长公式.3. 用弧长参数表示圆柱螺线和第1题中的双曲螺线.4. 设曲线C : r = r(t)不通过原点, r(t0)是C 距原点最近的点. 且r(t0) = 0. 证明r(t0)正交于r(t0).5. 设C : r = r(t)是参数曲线, m是固定向量. 若对任何t, r(t)正交于m, 且r(0
2、)正交于m. 证明对任何t, r(t)正交于m.6. 设平面曲线C在同一平面内直线l的同侧, 且与l相交于曲线C的正则点P. 证明:直线l是曲线C在点P处的切线.21. 求曲线r = (x(t),y(t),s(t)在t0处的切线与法平面方程.2. 求以下曲线的曲率和挠率:(1) r = (acosht,asinht,at)(2) r = (cos3t,sin3t,cos2t)(3) r = (a(3t t3),3at2,a(3t + t3), (a 0)(4) r = (a(1 sint),a(1 cost),bt)3. 求以下曲线的切线, 主法线与密切平面方程:(1) 三次挠曲线r = (a
3、t,bt2,ct3)(2) 圆柱螺线r = (rcoss,rsins,hs)其中r,h为常数, = (r2+ h2)1/2.4. 求平面曲线在极坐标下的曲率公式.5. 设曲线C : r = r(t)在P0(t0)处满足r(t0) r(t0) = 0. 求当曲线C上邻近P0的两点P1,P2独立地趋近于P0时, 由这三点所决定的平面的极限位置.6. 证明: 圆柱螺线的主法线与它的轴正交, 而从法线则与它的轴交于定角.31. 若s为弧长, 证明:(1) k = T B(2) (r,r,r) = k212曲线论部分习题2. 设s是单位球面上曲线C : r = r(s)的弧长, 证明: 存在一组向量a(
4、s),b(s),c(s)及函数(s), 使a=bb=a+ (s)cc=(s)b3. 设s是曲线C : r = r(s)的弧长. k, 0; 曲线C1: r1(s) =s0B()d的曲率, 挠率分别为k1,1. 切向量, 主法向量, 从法向量分别为T1,N1,B1. 证明:(1) s是C1的弧长;(2) k1= ,1= k,T1= B,N1= N,B1= T.4. 设r = (x(s),y(s)是平面弧长参数曲线, t(s,n(s)是它的Frenet标架. 证明:(1) n(s) = (y(s),x(s),r(s) = kr(s)(y(s),x(s)(2) kr(s) = x(s)y(s) x(
5、s)y(s)(3) 取一般参数t时kr(t) =x(t)y(t) x(t)y(t) (x(t)2+ y(t)2)1/2.5. 求以下平面曲线的相对曲率kr(假定弧长s增加的方向就是参数增加的方向):(1) 椭圆r = (acost,bsint),0 t 0的球. r = r(s)为曲线C的方程,d(s) = (r(s) m)2若在s0处满足下列条件:d(s0) = r2, d(s0) = d(s0) = = d(n)(s0) = 0则称曲线C与所给球有n阶接触. 证明:(1) 若曲线C落在已给球面上, 则C与球有任意阶接触;(2) 若 = 0, 则曲线与某一球有三阶接触的充要条件为: k(s0
6、) = 0. 从而平面曲线不能与球处处有三阶接触, 除非曲线本身属于球面的一个圆.8. 若k(s0) = 0. 证明: 曲线C与已给球在s0处有二阶接触的充要条件是:m = r(s0) +1 k(s0)N(s0) + B(s0)其中可任意选取.(此时固定s0得到一条直线, 称为曲线在s0处的极轴, 而点m0= r(s0) +1 k(s0)N(s0)称为曲率中心. 以m0为中心,1 k(s0)为半径的圆落在密切平面上, 称为C在s0处的密 切圆. )9. 若(s0) = 0, 证明: 曲线C与已给球在s0处有三阶接触的充要条件是 =(s0) (s0), 其 中 =1 k是曲率半径. (此时已给球
7、的中心为mS= r(s0) + (s0)N(s0) +(s0) (s0)B(s0). 称为曲线在s0处的密切球. )4曲线论部分习题10. 设在曲线C上点P0邻近任意取三点P1,P2,P3. 证明: 当P1,P2,P3沿着曲线独立地趋近于P0时, 过P0,P1,P2,P3的球的极限位置就是曲线C在点P0处的密切球.11. 证明: 圆柱螺线的曲率中心轨迹仍然是圆柱螺线.51. 设在两条曲线C,C之间可建立(可微的)一一对应, 是对应点切线处处相同. 则两曲线重合.2. 求平面弧长参数曲线, 使它的曲率k(s) =1 1+s2. 3. 设两曲线可建立对应, 使对应点有公共的主法线, 则称两曲线为B
8、ertrand曲线, 其中一条称为另一条的共轭曲线. 证明以下曲线均为Bertrand曲线:(1) 平面上的同心圆;(2) C1:r1=1 2(cos1s s1 s2,1 s2,0)C2:r2=1 2(cos1s s1 s2 s,1 s2+1 s2,0)4. 设曲线C1,C2为Bertrand曲线. 证明: C1与C2的对应点之间距离为常数, 切线交定角.5. 证明:(1) 任何平面曲线都是Bertrand曲线;(2) 若k = 0, 则空间曲线成为Bertrand曲线的充要条件是: 存在常数,( = 0),使k + = 16. 证明: 若两条曲线可建立对应, 是对应点的从法线重合, 则这两条
9、曲线或者重合,或者都是平面曲线.7. 设曲线r2(t)在r1(t)的切线上, 且r1(t)与r2(t)在t点的切线相互正交, 则称r2(t)为r1(t)的渐伸线, 而r1(t)则称为r2(t)的渐缩线. 若r1(s) 为弧长参数曲线, 证明r2(s) = r1(s) + (c s)T1(s),其中c为常数.8. 证明: 平面曲线在同一平面内有一条渐伸线, 而有一条渐缩线是一般螺线.9. 求圆的一条渐伸线.10. 设r(s)是弧长参数曲线, r1(s),r2(s)是r(s)的两条不同的渐伸线. 证明: r1(s)与r2(s)是Bertrand曲线偶的充要条件是: r(s)是平面曲线.11. 设T
10、(s),N(s),B(s)分别是曲线C的单位切向量,主法向量与从法向量, 则以下曲线C1: r = T(s),C2: r = N(s),C3: r = B(s)分别称为曲线C的切线, 主法线与从法线的球面标线. 证明:(1) 若si为Ci(i = 1,2,3)的弧长, 则 ?ds1ds? = k,?ds2ds? = k2+ 2,?ds3ds? = |曲线论部分习题5(2) 切线的球面标线为常值曲线的充要条件是C为直线, 切线的球面标线为大圆或大圆的一部分的充要条件是C为平面曲线.(3) 从法线的球面标线为常值曲线的充要条件是C为平面曲线.(4) 法线的球面标线永不为常值曲线.6. 平面曲线的整
11、体性质1. 设平面简单闭曲线C的长为L, 曲率k(s)满足0 AB. 证明: 连接点A,B的长为L的曲线C与AB所界的面积最大时, C是通过A,B的圆弧.5. 求椭圆r = (acost,bsint,0)的顶点(0 t 2,a = b).6. 设r = r(s)是平面上弧长参数的凸闭曲线. 证明: T至少在四个点处平行于T.7. 设C : r = r(s),C1: r = r1(s)为平面上全长L 的凸曲线, s为弧长, 其弦长分别为d,d1:d(s) = |r(s) r(0)|,d1(s) = |r1(s) r1(0)|若k(s) k1(s), 证明: d(s) d1(s).7 空间曲线的整体性质1. 证明: 空间正则闭曲线的切线的球面像全长不小于2.2. 证明: 曲率k(s) 1 R(R 0为常数)的最短闭曲线是半径为R的圆. 3. 利用空间Crofton公式证明: 对任何空间正则闭曲线,L0k(s)ds 2.4. 若单位球面上的弧长参数闭曲线的曲率k = 1, 证明: 全挠率 L0(s)ds = 0
