高考物理带电粒子在磁场中的运动解析归纳

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1、带电粒子在磁场中的运动一、难点突破策略 （一）明确带电粒子在磁场中的受力特点 1. 产生洛伦兹力的条件： 电荷对磁场有相对运动磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用 电荷的运动速度方向与磁场方向不平行 2. 洛伦兹力大小： 当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力 f=0； 当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qB； 当电荷运动方向与磁场方向有夹角 时，洛伦兹力 f= qBsin 3. 洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断 4. 洛伦兹力不做功 （二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下： 1. 若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速

2、度方向与磁场方向平行，0或 180时，带电粒子粒子在磁场中以速 度 做匀速直线运动 2. 若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即 90时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度 做匀速圆周运 动向心力由洛伦兹力提供：RvmqvB2 轨道半径公式：qBmvR 周期：qBm2 vR2T ，可见 T 只与qm有关，与 v、R 无关。（三）充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的 物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。1. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题 （1）定圆心、定半径、定转过的圆心角

3、是解决这类问题的前提。确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间 t 和转过的圆心角 之间的关系（T2tT360t或 ）作为辅助。圆心的确定，通常有以下两种方法。 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是 圆弧轨道的圆心（如图 9-1 中 P 为入射点，M 为出射点） 。 已知入射方向和出射点的位置，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条 垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图 9-2,P 为入射点，M 为出射点） 。 （2）半径的确定和计算：利用平面几何关系，求出该圆的可能半径或圆心

4、角。并注意以下两个重要的特点：图 9-1 图 9-2 图 9-3 粒子速度的偏向角等于回旋角 ，并等于 AB 弦与切线的夹角（弦切角 ）的 2 倍，如图 9-3 所示。即：t2或或。 相对的弦切角 相等，与相邻的弦切角 /互补，即 /180o。 （3）运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 时，其运动时间可由下式表示T2tT360t或 。 注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方 向、出射速度方向与边界的夹角相等； 在圆形磁场区域内，沿径向射入

5、的粒子，必沿径向射出。 应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。 例 1：如图 9-4 所示，在 y 小于 0 的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于 xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为 B， 一带正电的粒子以速度从 O 点射入磁场，入射速度方向为 xy 平面内，与 x 轴正向的夹角为 ，若粒子射出磁场的位 置与 O 点的距离为 L，求该粒子电量与质量之比。【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律画出轨迹，并 应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。 【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图 9-5 所示，找出圆心 A，向 x 轴

6、作垂线，垂足为 H，由与 几何关系得：带电粒子在磁场中作圆周运动，由解得联立解得【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。例 2：电视机的显像管中，电子（质量为 m，带电量为 e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为 U 的 加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图 9-6 所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为 O，半径为 r。当不加 磁场时，电子束将通过 O 点打到屏幕的中心 M 点。为了让电子束射到屏幕边缘 P，需要加磁场，使电子束偏转一已 知角度 ，此时磁场的磁感强度 B 应为多少？ 【审题】本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，

7、则由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后作匀 速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径 r 和轨迹 半径 R 有关的直角三角形即可求解。图 9-6图 9-7图 9-4 图 9-5【解析】如图 9-7 所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点 a、b 分别为进入和射出的点。做 a、b 点速度 的垂线，交点 O1 即为轨迹圆的圆心。设电子进入磁场时的速度为 v，对电子在电场中的运动过程有：2mveU2 对电子在磁场中的运动（设轨道半径为 R）有：RvmevB2 由图可知，偏转角 与 r、R 的关系为：Rr 2tan联立以上三式解得：

8、2tanemU2 r1B【总结】本题为基本的带电粒子在磁场中的运动，题目中已知入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运 动打到 P 点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解。2. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的范围型问题 例 3：如图 9-8 所示真空中宽为 d 的区域内有强度为 B 的匀强磁场方向如图，质量 m 带电-q 的粒子以与 CD 成 角 的速度 V0 垂直射入磁场中。要使粒子必能从 EF 射出，则初速度 V0 应满足什么条件？EF 上有粒子射出的区域？ 【审题】如图 9-9 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越

9、大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨 迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。 【解析】粒子从 A 点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从 EF 射出，则相应的临界轨迹必为过点 A 并与 EF 相切的轨迹如图 9-10 所示，作出 A、P 点速度的垂线相交于 O/即为该临界轨迹的圆心。临界半径 R0 由dCosRR00有: Cos1dR0 ； 故粒子必能穿出 EF 的实际运动轨迹半径 RR0即: Cos1d qBmvR0有: )Cos1 (mqBdv0。由图知粒子不可能从 P 点下

10、方向射出 EF，即只能从 P 点上方某一区域射出； 又由于粒子从点 A 进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从 AG 直线上方射出；由此可见 EF 中 有粒子射出的区域为 PG，且由图知: cotdCos1dSincotdSinRPG0。【总结】带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运 用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临 界半径 R0” ，然后利用粒子运动的实际轨道半径 R 与 R0 的大小关系确定范围。图 9-8 图 9-9 图 9-10例 4：如图 9-

11、11 所示 S 为电子射线源能在图示纸面上和 360范围内向各个方向发射速率相等的质量为 m、带电-e 的 电子，MN 是一块足够大的竖直挡板且与 S 的水平距离 OSL，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场； 若电子的发射速率为 V0，要使电子一定能经过点 O，则磁场的磁感应强度 B 的条件？ 若磁场的磁感应强度为 B，要使 S 发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？若磁场的磁感应强度为 B，从 S 发射出的电子的速度为meBL2，则档板上出现电子的范围多大？【审题】电子从点 S 发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点 S 射出的方向不同将使其 受洛仑兹力方向不

12、同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点 S 向与 SO 成锐角且位于 SO 上方发射出的电子才可能 经过点 O； 由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕 S 点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这 样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图 9-12 所示，最低点为动态圆与 MN 相切时的交点，最高点为动态圆与 MN 相割，且 SP2 为直径时 P 为最高点。 【解析】要使电子一定能经过点 O，即 SO 为圆周的一条弦，则电子圆周运动的轨道半径必满足2LR ，由2L eBmv0得：eLmv2B0要使电子从 S 发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的 O 点，故仍有粒子

13、圆周运动半径2LR ， 由2L eBmv0有：m2eBLv0当从 S 发出的电子的速度为meBL2时，电子在磁场中的运动轨迹半径L2qBmvR/作出图示的二临界轨迹，故电子击中档板的范围在 P1P2 间；对 SP1 弧由图知L3L)L2(OP22 1对 SP2 弧由图知L15L)L4(OP22 2【总结】本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径 R0” ，然后利用粒子运动的实际轨道半径 R 与 R0 的大小关系确定范围。3. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的极值型问题 寻找产生极值的条件：直径是圆的最大弦；同一圆中大弦对应大的圆心角；由轨迹确定半径的极值。 例 5：图 9-

14、13 中半径 r10cm 的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟 y 轴在坐标原点 O 处相切；磁场 B033T 垂直 于纸面向内，在 O 处有一放射源 S 可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2106m/s 的 粒子；已知 粒子质量为 m=6.610-27kg，电量 q=3.210-19c，则 粒子通过磁场空间的最图 9-11 图 9-12大偏转角 及在磁场中运动的最长时间 t 各多少？ 【审题】本题 粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于 粒子从点 O 进入磁场的方向不同故其相应 的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角 不同，要使 粒子在运动中通过磁场区域的偏转角 最大，

15、则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦， 依此作出 粒子的运动轨迹进行求解。 【解析】 粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径： r2m2 . 0qBmvR 粒子从点 O 入磁场而从点 P 出磁场的轨迹如图圆 O/所对应的圆弧所示，该弧所对的圆 心角即为最大偏转角 。 由上面计算知SO/P 必为等边三角形，故 60 此过程中粒子在磁场中运动的时间由即为粒子在磁场中运动的最长时间。 【总结】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 例 6：一质量 m、带电 q 的粒子以速度 V0 从 A 点沿等边三角形 ABC 的 AB 方向射入强度为 B 的垂直于纸面的圆形 匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿 BC 射出，求圆形磁场区域的最小面积。 【审题】由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿 AB 进入磁场而从 BC 射出磁场 的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧 PQ 能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆 形磁场的最小区域