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1、一种在复平面内用图形分析进行信号频谱分析的方法一种在复平面内用图形分析进行信号频谱分析的方法信号处理中，经常会碰到数字频率、模拟频率这样的概念。如何理解它们之间的关系这个问题一直困扰着许多人。特别是对于数字频率，或者只有一个模糊的概念，或者只简单的知道与 2有关。本文给出了一种在复平面内用图形分析的方法进行信号频谱分析的方法，详细地分析了数字频率与模拟频率之间的关系，同时很好的解释了频谱混叠现象。谈到频率，首先映入脑海的是一串周期性的信号，比如正弦波、方波等等。而在生活中，与频率有关的事务很多，像建筑工连续的敲打声、每周晨跑的次数、走路步伐的快慢等等，生活中无处不在。这里所谈的频率是指信号处理
2、中的信号频率，模拟信号的频率是很直观的，如国内家用电器用到的 220V、50Hz 交流电。这里将先从离散傅里叶变换入手，对数字频率与模拟频率的关系给出更准确地解释，并对奈奎斯特采样定理和频谱混叠现象作另一番解析，这将对从事信号处理特别是数字信号处理工作的工程师们有一定的帮助。 在复平面图中分析离散傅里叶变换1对于数字频率，很多电子设计工程师只有一个模糊的概念，或者说只是简单知道它与有关系。而对数字频率和模拟频率的关系并不太了解，或者只是简单的知道他们存在2下面这样的关系(1)2sff式中表示模拟频率，表示数字频率，表示采样频率。fsf为了说明数字频率与模拟频率之间的关系，引入序列的离散傅里叶变
3、换2( )x n( )kX：(2)1( )( ) 0,0,1,.,1N kn kn nXxakN将上式展开成矩阵形式3，即XAx0*00*10*20*(1)(0)(0)1*01*11*21*(1) (1)(1)2*02*12*22*(1) (2)(2)(1)*0(1)*1(1)*2(1)*(1)( )(1)NNNNNNNNkNXxaaaaXxaaaaXxaaaaaaaaXxLLLMMMMMMML为旋转因子。对取模值及功率谱4，上面的矩阵在复平面内分布如下图2jNae( )kX1。图中只显示方向，不代表大小。( )kX(0)X (1)X(3)NX(2)NX(1)NX(3)X(2)X.23 202
4、图 1 功率谱在单位圆上的分布)(kX例如取 k=1，就是图 1 中 N 个复向量叠加，k=2，就是图 2 中 N 个复向量叠加，(1)X(2)X以此类推。图中向量的模值为的大小，为方便在图中不予表示，而只是显示在复平面( )x n内的方向。(3)011 (1)(0)(1)(1).N NXa xa xax (4)0222 (2)(0)(1)(1).N NXa xa xax 数字频率与模拟频率之间的关系有了以上分析，再来理解数字频率与模拟频率之间的关系。当为实序列方波信号时，则的功率谱在图 1 的圆上均匀分布。下图 4 是)(nx)(nx)(kX方波信号的功率谱大小的分布图。注意图 1 为图 2
5、 的俯视图。(1)Nx(2)Nx(0)x(2)x(1)x(3)x.( )kx i 2 X(1) (1)Nx(2)Nx(0)x(2)x(1)x (3)x. .( )kx i (/2 1)Nx(/2)Nx(/2 1)Nx(/2 2)Nx(/2 2)Nx(/2 3)Nx(/2)Nkx3 X(2) 图 4 序列的功率谱在单位圆周上的立体分布图)(nx根据傅里叶变换的共轭对称性5，与一样大，即图 1 的权值是)(kX)(kNX)(kNX关于实轴对称的，这在图 4 中也可以看出来。 有了以上分析，我们再看式(1)，并将它变成如下形式：(5)Kffss2式 5 中 K 是比值。为分析二者的关系，将数字频率置
6、于图 4 中来分析，并作出s的位置分布图 5，可得出两点结论:s(1) 可在圆周上任意位置，然而由于圆的周期性，的实际处理范围限制在；s2s2 , 0(2) 由于傅里叶变换的共轭对称性，当对未知信号进行离散傅立叶变换后，得到当频率)(nx分布在实轴下方时，则它与关于实轴对称分布的频率采样效果是一sss2样的。因此有实际意义的范围就只在范围内了。s, 0(0)X (1)X(3)NX(2)NX(1)NX(3)X(2)X23 202sss2图 5 功率谱s这样一来，比值 K 的范围是。因此对任何模拟频率为的未知信号以采样率5 . 0 , 0f采样后，对我们有意义的范围是，即。到这里，我们可以从离散s
7、fsffK 5 . 0 , 0ffs2傅立叶变换过程中看到了奈奎斯特采样定理是怎么得来的了。可见经过离散傅立叶变换后得到的是怎样反过来得到模拟频率的，所以在一定意s义上说是合理的，而是不合适的。因为当时，就会发生频2sffsff2fffs2谱混淆现象，所以就不适合了。而当时还会发生频谱重叠现象。sff2ffs0 图形法分析频谱混叠下面举例分析频谱混叠现象。频谱混叠应该包含两层含义：第一层含义是频谱混淆；第二层含义是频谱重叠。先来看频谱混淆。例如用采样频率胃Hz 的对信号对频率80sf为Hz 的信号进行采样，这时，这样一来应该是，分布于实轴下50f 8050sffKs 45方，如图 4(右)所示
8、。根据以上分析，这与对称分布在实轴上方的发生了混淆。ss2因此实际采样得到的频率应该是，对应的模拟频率为(80-50H)Hz =30Hz，这与 43一致。用时域信号的图形来表示如图 6(左)所示，实线表示正弦波频率432ss为 50Hz，虚线表示正弦波频率为 30Hz，线杆表示用 80Hz 的采样点。图 6 用 80Hz 采样 50Hz 频率信号出现的频谱混淆现象再来看频谱重叠现象，即分析采样频率在条件下会出现的情况。这时，sfffs0由知道，得到的数字频率的范围是，这在圆周上表现为周期为Kffss2s2s的周期性，即又回到了实轴以上的平面，与频率发生了重叠，频谱2sss2重叠这一词就是这样得
9、来的。例如当为 1KHz，信号频率1.2KHz，采样后的频率为sff(1.2-1)KHz=0.2KHz，这与是一致的，如图 7 所示：实线表示模拟信522ss 202 5 4s 23 4ss 号频率为1.2KHz，虚线表示频谱重叠形成的频率为 0.2KHz 的信号。f图 7 用 1000Hz 采样 1200Hz 频率信号出现的频谱重叠现象而且当继续旋转增大，它又回到了实轴以下的平面，这时既会出现频谱重叠现象s又会出现频谱混淆现象。例如当采样频率为 1KHz，信号频率变为 1.6KHz 时，重叠sff频率为(1.6-1)KHz=0.6KHz，对应的，在实轴下方。因此，又发2 . 1KHz1KHz
10、6 . 02s生了频谱混淆现象，采样后实际的频率应该是(1-0.6)KHz=0.4KHz。如图 6 所示，实线表示被采样的模拟信号，频率为1.6KHz，虚线 1 表示频谱重叠形成的频率为 0.6KHz 的正f弦信号，虚线 2 表示频谱混叠产生的频率为 0.4KHz 正弦信号(即为采样后的信号)。图 8 用 1000Hz 采样 1600Hz 频率信号同时出现的频谱重叠和混淆现象结论通过在复平面内用图形分析的方法在对信号频谱进行分析，很清晰的得出数字频率与模拟频率之间的关系，并对频谱混叠现象进行了深入的理解，对信号处理有很大的帮助。运用图形分解分析方法在其他问题中也有很多运用。作为一种辅助工具，有效的运用图形分析方法将给我们带来方便。 20 2 12 5s 122255s 20 2 16 5s 166255s 625 4 5s
