高中数学竞赛义集合与简易逻辑

《高中数学竞赛义集合与简易逻辑》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛义集合与简易逻辑（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1高中数学竞赛讲义（一）集合与简易逻辑一、基础知识一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写 字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合 A 中，称属于 A，记为，否则称不属于 A，记作。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开 表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有

2、理数集和正实数集。定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存 在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。定义 3 交集，定义 4 并集，定义 5 补集，若称为 A 在 I 中的补集。定义 6 差集，。定义 7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R 记作定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有：（1） （2）；（3） （4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由

3、读者自己完成。（1）若，则，且或，所以或，即；反之，则2或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理 2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。定理 3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。二、方法与例题二、方法与例题 1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例 1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则证明（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同

4、的奇偶性，所以是奇数或 4 的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则3（因为）。2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则 A=B。例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足，求集合 M（用 A，B 表示）。【解】先证，若，因为，所以，所以； 再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以综上，3分类讨论思想的应用。例 3 ，若，求【解】依题设，再由解得或，因为，所以，所以，所以或 2，所以或3。因为，所以，若，则，即，若，则或，解得综上所述，或；或。4计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）

5、的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。【解】（1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10 个元素共有 310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对， 所以集合对有 310个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一 步，1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有 1022 个。45配对方法。例 5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。【解】将

6、I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。6竞赛常用方法与例问题。定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素个数，则，需要 xy 此结论可以推广到个集合的情况，即定义 8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫 I 的一个-划分。 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理 6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元

7、素放入个抽屉必有 一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。【解】 记，由容斥原理，所以不能被 2，3，5 整除的数有个。5例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至 多有一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=1821

8、1+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另一方面，当时，恰有，且 S 满足题目条件，所以最少含有 912 个元素。例 8 求所有自然数，使得存在实数满足：【解】 当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。令，则所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。（）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有6或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。 例 9 设 A=1，2

9、，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。【解】 设 B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是 1，就有集合1，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是 2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能，所以20 个中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以。当时，如下 20 个集合满足要求： 1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，1

10、3，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。例 10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数【解】 设其中第 个三元集为则 1+2+7所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，

11、14，8满足条件，所以的最小值为 5。 三、基础训练题三、基础训练题1给定三元集合，则实数的取值范围是_。2若集合中只有一个元素，则=_。3集合的非空真子集有_个。4已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合 P=_。5已知，且，则常数的取值范围是_。6若非空集合 S 满足，且若，则，那么符合要求的集合 S 有_个。7集合之间的关系是_。8若集合，其中，且，若，则 A 中元素之和是_。9集合，且，则满足条件的值构成的集合为_。10集合，则_。11已知 S 是由实数构成的集合，且满足 1）若，则。如果，S 中至少含有多少个元素？说明理由。12已知，又 C 为单元素集合，求实数的取值范围。 四、高

12、考水平训练题四、高考水平训练题81已知集合，且 A=B，则_，_。2，则_。3已知集合，当时，实数的取值范围是_。4若实数为常数，且_。5集合，若，则_。6集合，则中的最小元素是_。7集合，且 A=B，则_。8已知集合，且，则的取值范围是_。9设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论。10集合 A 和 B 各含有 12 个元素，含有 4 个元素，试求同时满足下列条件的集合 C 的个数：1）且 C 中含有 3 个元素；2）。11判断以下命题是否正确：设 A，B 是平面上两个点集，若对任何，都有，则必有，证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题91已知集合，则实数的取值范围是

13、_。2集合的子集 B 满足：对任意的，则集合 B 中元素个数的最大值是_。3已知集合，其中，且，若P=Q，则实数_。4已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则_。5集合，集合，则集合 M 与 N 的关系是_。6设集合，集合 A 满足：，且当时，则 A 中元素最多有_个。7非空集合，则使成立的所有的集合是_。8已知集合 A，B，aC（不必相异）的并集, 则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是_。9已知集合，问：当取何值时，为恰有 2 个元素的集合？说明理由，若改为 3 个元素集合，结论如何？10求集合 B 和 C，使得，并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。11S 是 Q 的子集

14、且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合 S。12集合 S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S 中的任何两 个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？ 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题101是三个非空整数集，已知对于 1，2，3 的任意一个排列，如果，则。求证：中必有两个相等。2求证：集合1，2，1989可以划分为 117 个互不相交的子集，使得（1）每个恰有 17 个元素；（2）每个中各元素之和相同。3某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错 的情况有多少种？4设是 20 个两两不同的整数，且整合中有201 个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。5设 S 是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。6对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少 3 个两两互质的元素。7设集合 S=1，2，50，求最小自然数，使 S 的任意一个元子集中都存在两个不同的数 a 和 b，满足。8集合，试作出 X 的三元子集族&，满足：（1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2）。9设集合，求最小的正整数，使得对 A 的任意一个 14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素 a 和 b 满足。