《线性方程组的基础解系及其通解的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组的基础解系及其通解的计算（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1习题 33-1求下列齐次线性方程组的通解：解 对系数矩阵施行行初等变换，得 14072873152A)(021阶 梯 形 矩 阵B ， 0271 )(0271行 最 简 形 矩 阵C与原方程组同解的齐次线性方程组为，0271zyx即（其中 是自由未知量） ，zyx271令 ，得到方程组的一个基础解系1z,T)127,(所以，方程组的通解为为任意常数,)127,(Tkk2（2） .0865347243215xx解 对系数矩阵施行行初等变换，得 210417086537A)(701421阶 梯 形 矩 阵B ，)(1021行 最 简 形 矩 阵C与原方程组同解的齐次线性方程组为，025431x即
2、（其中 是自由未知量） ，025431xx43,x令 ， ，得到方程组的一个基础解系34(,)T(,)T， ，0,1,21 T)0,1(2所以，方程组的通解为， 为任意常数21k TTk),(),(121,k3（3） 0742364515421 xxx解 对系数矩阵施行行初等变换，得 01426347A1013 )(阶 梯 形 矩 阵B，)(00316517行 最 简 形 矩 阵C与原方程组同解的齐次线性方程组为，03165754321xx即（其中 是自由未知量） ，54325167xxx53,x4令 ， ，得到方程组的一个基础解系Tx),(53(1,0)T,T， ， T)1,3065,7(2
3、所以，方程组的通解为， 为任意常数21k TTk),(),1(221,k3-2当 取何值时，方程组zyxx6743有非零解？解 原方程组等价于,0)6(743zyx上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式，671431即，0)5(2从而当 和 时方程组有非零解02133-3求解下列非齐次线性方程组：（1）.解 对增广矩阵 施行行初等变换A，512 00121B因为 ，所以方程组有解，继续施行行初等变换()rA5，B 00121C与原方程组同解的齐次线性方程组为,1243x即（其中 为自由未知量） ，4321x32,x令 ，得到非齐次方程组的一个解TT)0,(,(32，1对应的齐
4、次方程组（即导出方程组）为（其中 为自由未知量） ，02431x32,x令 ， ，得到对应齐次方程组的一个基础解系T),(32(,1)T， ,1T)0,(2方程组的通解为，01212(,)(,)(1,0)TTTkkk其中 为任意常数21,k（2） .8109572433321321xx解 对增广矩阵 施行行初等变换A6，810957241323A 00391245B因为 ，所以方程组有解，继续施行行初等变换()r，B 0039158C与原方程组同解的齐次线性方程组为,391315842xx即（其中 为自由未知量） ，4321xx43,x令 ，得到非齐次方程组的一个解34(,)(0,TT,)1对
5、应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中 为自由未知量） ，4321958xx43,x令 ， ，得到对应齐次方程组的一个基础解系34(,)T(,0,)T， ，181T)1,095(2方程组的通解为,其01212(,3)(8,30)(5,901)TTTkkk中 为任意常数21,k7（3） 103211x解 对增广矩阵 施行行初等变换A 1040231132， 9605310405因为 ，所以方程组无解.3)()(Arr3-4讨论下述线性方程组中， 取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解3)()1(3223xx解 方程组的系数行列式为.2(1)3(1)3A（1）当 时，即 时，方程组有惟一
6、解0且（2）当 时，即 时， 1 或 (i) 当 时,原方程组为，1230x8显然无解(ii) 当 时，原方程组为1，34612213xx对该方程组的增广矩阵 施行行初等变换A，100236143因为 ，所以方程组有无穷多组解，()2rA与原方程组同解的方程组为，132x即（其中 为自由未知量） ，132x3x令 ，得到非齐次方程组的一个解30，(1,3)T对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中 为自由未知量） ，132x3x令 ，得到对应齐次方程组的一个基础解系3，(1,)T方程组的通解为，其中 为任意常数0(,30)(1,2)TTkkk93-5写出一个以 为通解的齐次线性方程组12340
7、xc解 由已知， 和 是齐次线性方程组1(,)T2(,401)T的基础解系，即齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数AXOAXO为 2，而未知数的个数为 4，所以齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩为A，故可设系数矩阵4,121342aa由 可知 和 满足方程组AXO1134,21234,a,1234,01xO即方程组 的线性无关的两个解即为 ,1234x 12方程组的系数矩阵,043211该方程组等价于（其中 为自由未知量） ，1342xx43,x令 ， ，得到该齐次方程组的一个基础解系34(,)T(,0,)T， ，12(,10)T故要求的齐次线性方程组为 ，其中 ,AXO210310即.1
8、2340x3-6设线性方程组，0211nmmxaxa 的解都是 的解，试证 是向量组bb Tnb),(21, , 的Tn),(121Tn),(221,mnma线性组合证 把该线性方程组记为（*） ，由已知，方程组（*）的解都是的解，所以方程组（*）与方程组021nxbxb,121120nmmnaaxxbb 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组和 的秩相同，故 可由 线性表示12,m 12,m 12,m3-7试证明： 的充分必要条件是齐次线性方程组()rAB的解都是 的解OABXX证 必要性.因为 ，只须证 与 的基础解系()rOABX相同 与 的基础解系都含
9、有 个线性无关的解向()nr量又因为 的解都是 得解所以 的基础解系也是BXABX的基础解系即 与 有完全相同的解所以OAO的解都是 的解充分性.因 的解都是 的解，而 的解都是OBX11的解，故 与 有完全相同的解，则基础解系也完全相ABXOABXO同，故 ，所以 ()()nrr()rAB3-8证明 的充分必要条件是存在非零列向量 及非零行向量 ，1aTb使 TAab证 充分性.若存在列向量 及行向量 ，其中12ma12Tnbb不全为零 ， ，则有,ijab1,i 1,jn,1212 221212nTnmmmnaababAb 显然矩阵 的各行元素对应成比例，所以 ()rA必要性.若 ，则 经
10、过一系列的初等变换可化为标准形()1rA，0D 而矩阵 可以表示为，1010,D 则存在可逆矩阵 ， 使得 ，从而PQ1AD12，其中 均可逆，110,APDQQ 1,P记， ，10aP1,0TbQ又因为 可逆，则 至少有一行元素不全为零，故列向量 的分量不全为零，同a理，因为 可逆，所以行向量 的分量不全为零因此，存在非零列向量 及1QTb a非零行向量 ，使 TbAa补充题B3-1.设 是 矩阵， 是非其次线性方程组 所对应齐次AmnAXOAXb线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A） 若 仅有零解，则 有惟一解；XOB（B） 若 有非零解，则 有无穷多个解；（C） 若 有无穷多个
11、解，则 仅有零解；B（D） 若 有无穷多个解，则 有非零解B3-2.设 为 阶实矩阵， 是 的转置矩阵，则对于线性方程组nTA（） ；（） ，TAXO必有（ D ） （A） （）的解是（）的解， （）的解也是（）的解；（B） （）的解是（）的解，但（ ）的解不是（）的解；（C） （）的解不是（）的解， （）的解也不是（）的解；（） （）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解B3-3设线性方程组 有 个未知量， 个方程组，且 ，则AXBnm()rA此方程组（ A ） 13（） 时，有解；（） 时，有惟一解；rmrn（） 时，有惟一解；（） 时，有无穷多解nB3-4讨论 取何值时，下述方程组有解，
12、并求解：21zyx解 （法一）方程组的系数行列式，21()A（1）当 时，即 时，方程组有惟一解01且2(1),2xyz（2）当 时，即 时0A 1 或 (i) 当 时,原方程组为 1，xyz因为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为()rA,01212(,0)(,0)(1)TTTkkk其中 为任意常数21,k(ii) 当 时，原方程组为 -，124xyz对该方程组的增广矩阵 施行行初等变换A，1124204514因为 ，所以方程组无解()2()3rAr解 （法二）对该方程组的增广矩阵 施行行初等变换A22112231012230 ，211()(1)B (1)当 时, ，方程组有惟一解2且 3r
13、A.21(),xyz(2) 当 时， ，方程组有无穷多组解，其通解为 ()r,01212(,0)(,0)(1)TTTkkk其中 为任意常数21,k(3) 当 时，由 知， ，所以方程组无解 -B()()3rArB3-5.若 是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：321,也是该方程组的一个基础解系12,证 设有三个数 使得123,k15,122331()()()0kkk则有,131223()()()因为 是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以 线性无关，故2, 321,1320k该方程组的系数行列式,102所以该方程组只有零解即 即 线性无1230k1231,关又由齐次线性方程组的性质知 都是方程组的解所以1231,构成方程组的一个基础解系1231,B3-6.
