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1、1赣州一中赣州一中 2012-2013 学年下学期期末复习学案圆锥曲线专题学年下学期期末复习学案圆锥曲线专题课前自主学案课前自主学案 【回归教材】 1三种圆锥曲线的定义：椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线都是动点运动形成的轨迹。动点在 运动变化过程中，保持某种“距离”不变。（1）椭圆：平面内与两个定点，的距离_等于常数（_于）的点的轨迹叫做椭圆。1F2F12FF即：（，为常数） ，则 P 点的轨迹为以212122FFcaPFPF0a 0c ac_为焦点的椭圆。注意：若时，点 P 的轨迹为_。若时，点 P 的轨迹_。122aFF1202aFF（2）双曲线：在平面内到两个定点，距离_等于常数（_于）
2、的点的轨迹1F2F12FF叫做双曲线。即：（，为常数） ，则212122FFcaPFPF0a 0c ac，点的轨迹为以_为焦点的双曲线P注意：若时，点 P 的轨迹为_。若时，点 P 的轨迹122aFF122aFF_。若时，点 P 的轨迹是_另外，定义中的_必不20a 可少.（3）抛物线：平面内到定点 F 与到定直线 距离_的点的轨迹。 （其中）lFl 注意：若，则 P 点的轨迹为_。lF 2.三种圆锥曲线的标准方程：椭圆：，焦点在轴上；，焦点在轴上 22221(0)xyababx22221(0)yxababy（谁的_，焦点就在谁的轴上。 ） 拓展：拓展：椭圆方程的一般形式：221(00)AxB
3、yABAB，（当时，焦点在_；当时，焦点在_。 ）ABAB双曲线：，焦点在轴上；,焦点在轴上 22221(00)xyabab，x22221(00)yxabab，y(谁的_，焦点就在谁的轴上。)拓展：拓展：双曲线方程的一般形式：)0( 122ABByAx（当时，焦点在_；当时，焦点在_。 ）0, 0BA0, 0BA抛物线：（其中） ，焦点在轴上；,2,222pxypxy0p x（其中） ，焦点在轴上。,2,222pyxpyx0p y（谁是_，焦点就在谁的轴上。 ） 3.三种圆锥曲线的几何性质2椭圆双曲线抛物线图形标准方程12222 by ax(ba 0)12222 by ax(a0,b0)pxy
4、22范 围axa，byb|x| a，yRx0中 心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶 点(a,0),(a,0), (0,b) ,(0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦 点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)0 ,2(pF准 线x=准线垂直于长轴，ca2且在椭圆外.x=准线垂直于实轴，且ca2在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于2p顶点两侧，且到顶点 的距离相等.焦 距2c （c=22ba ）2c （c=22ba ）离心率) 10(eace) 1( ea
5、cee=1渐近线xaby通 径ab22 ab22p24参数的几何意义：（1）椭圆: ，其中 _最大。焦点总在长轴上.0ab222abc（2）双曲线： 。其中_最大。焦点总在实轴上。222cab当 a=b 时，为_双曲线。其离心率是_，渐近线为_，相互_。 （3）抛物线：焦准距是_的距离，故恒为正数。焦点的非零坐标为pp _。 5离心率（1）椭圆:。离心率可 1 , 0ab1ace22 3以描述椭圆的形状。当趋近于 1 时，椭圆越_；当趋近于时，椭圆越_.ee0（2）双曲线：。离心率可以描述双曲线开口的大小。 e 越大，开口就越 1ab1ace22（3）抛物线：。抛物线的开口大小可以由_来描述。
6、通径越长，开口越_。1e6.双曲线的渐近线：把标准方程中的“1”用_替换即可得出渐22221(00)xyabab，近线方程以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为xaby12222 by ax_。7.抛物线的焦点弦性质：若抛物线的焦点弦为 AB，则)0(22ppxy),(),(2211yxByxA； (此结论大题不可直接使用，需要推导。)pxxAB212 21221,4pyypxx其中是直线 AB 的倾斜角，可见，_是所有焦点弦（过焦点的弦）中最2sin2pAB 短的弦。 8.点与椭圆的位置关系：点和椭圆（）的关系：),(00yxP12222 by ax0 ba（1）点在椭圆_；（2）点
7、在椭圆_),(00yxP12222 by ax),(00yxP；12222 by ax（3）点在椭圆_),(00yxP12222 by ax9.直线与圆锥曲线的位置关系： （1）椭圆：方程联立消元。直线与椭圆_；直线与椭圆_；直线与椭圆000 _。 （2）双曲线：方程联立消元。 二次项系数为 0 时，求出的直线斜率与渐近线斜率相同。此时直线与双曲线相交且只有一个交点。当二次项系数不为 0 时，直线与双曲线_；直线与双曲线00 _；直线与双曲线_。（是直线与双曲线相交的充分不必要条00 件_条件）（3）抛物线：以为例。方程联立消元。22ypx0p 4二次项系数为 0 时，求出的直线斜率为 0。此
8、时直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线相交 且只有一个交点。当二次项系数不为 0 时，直线与抛物线_；直线与抛物线00 _；直线与抛物线_。（是直线与抛物线相交的充分不必要条00 件_条件。）温馨提示：温馨提示：直线与圆锥曲线相交于两点，则必有二次项系数不为 0 且故在求解有关弦长、中. 0 点弦问题时，勿忘检验！010弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点 A、B，且分别为 A、B 的横坐标，ykxb12,x x则，若分别为 A、B 的纵坐标，则，AB2 121kxx12,y yAB21211yyk若弦 AB 所在直线方程设为，则。特别地，抛物线的焦点弦xkybAB2 121kyy，一般看成
9、两个焦半径之和，再用定义转化为到准线的距离。ABBFAF 11.焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）求面积问题：常用余弦定理结 合椭圆或双曲线的定义凑完全平方式求解。 12.圆锥曲线的中点弦问题：常用“韦达定理”或“点差法”求解。课堂自主学案课堂自主学案 【题型分析题型分析】 题型一：圆锥曲线的定义题型一：圆锥曲线的定义例例 1.1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是（C ） )0 , 3(),0 , 3(21FF A B C D421 PFPF621 PFPF1021 PFPF122 22 1 PFPF变式变式 1：在面积为 1 的中，建立适当的
10、坐标系，求出以 M、NPMN21tanM2tanN为焦点且过点的椭圆方程P解：解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设MNMNx),(yxP则即得.1,21,2cycxycxy 233435ccycx且)32,325(P ,43, 134 12252222baba . 3,41522ba所求椭圆方程为1315422 yx变式变式 2：的底边，和两边上中线长之和为 30，建立适当的坐标系求此三ABC16BCACAB 角形重心的轨迹和顶点的轨迹GA5解：解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，BCxBCGyx，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，
11、20 GBGCGBC10a，有，故其方程为设，则8c6b013610022 yyxyxA ，yxG， 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨013610022 yyx 33 yyxx，A0132490022 yyx迹是椭圆（除去轴上两点） x例例 2.2.方程表示的曲线是_（答：双曲线的左支）2222(6)(6)8xyxy变式变式 1：已知双曲线与椭圆：有公共的焦点，并且双曲线的离心率与椭圆的离1C2C22 13649xy1e心率之比为，求双曲线的方程2e7 31C解：的焦点坐标为由得设双曲线的方程为1C(0,13).213 7e 127 3e e113 3e 22221( ,0)yxa bab则
12、 解得 双曲线的方程为222221313 9abab a229,4ab22 194yx变式变式 2：ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=sinA,求点 A 的轨迹方程53分析：分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边 长的关系解：解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即（*）53 53BCACAB536 ACAB点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为 （x3）116922 yx点评：点评：要注意利
13、用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例例 3.3.已知点及抛物线上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_（答：2）)0 ,22(Q42xy 变式：变式：以抛物线上的点 M 与定点为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方28yx(6,0)A程6解：设点，则，代入得：此即为点00(,),( , )M xyP x y006 22xxyy 00262xxyy 2 008yx2412yxP 的轨迹方程题型二：圆锥曲线的标准方程题型二：圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置 的方程）的方程）例例 4.4.已知方程表示椭圆，则的取值范围为_ 12322 ky kxk（答：） ；11( 3,)(,2)22U例例 5.5.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_2514922 yx（答：） ；2 214xy变式：变式：与双曲线有公共的渐近线,且经过点的双曲线方程是_.22 1916xy( 3,2 3)A 答案：2 24194yx 题型
