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1、 page 1 of 41三角函数一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系(一)知识内容1. 角的概念的推广角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的三要素.角可以是任意大小的.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角.正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.在直角坐标系中讨论角：角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角.2.终边相同的角的集
2、合：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为.集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对360 ,ZSkk S0k 应元素为.3.弧度制和弧度制与角度制的换算角度制：把圆周等分，其中1份所对的圆心角是 度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制.3601一些特殊角的度数与弧度数的对应表：度数0153045607590120135150弧度0 12 6 4 35 12 22 33 45 6度数180210225240270300315330360弧度7 65 44 33 25 37 411 62板块一：任意角的概念与弧度 制page 2 of 411 弧度的角：长度等于半
3、径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角.1规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角的弧度数的绝对值，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制.l r弧度与角度的换算：，180 rado1801 rad57.3057 18 板块二：任意角的三角函数(一）知识内容1.三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点P( ,)x y的距离为，那么2222(|0)r rxyxy比值叫做的正弦，记作，即；y rsinsiny r比值叫做的余弦，记作，即；x rcoscosx r比值叫做的正切，记作，即；y xtantany x
4、比值叫做的余切，记作，即；x ycotcotx y比值叫做的正割，记作，即；r xsecsecr x比值叫做的余割，记作，即.r ycsccscr y2.三角函数的定义域、值域函数定义域值域sinyR 1, 1cosyR 1, 1tany|,2kk ZRpage 3 of 413.三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正（） ，对于第三、四象限为负（） ；y r0,0yr0,0yr余弦值对于第一、四象限为正（） ，对于第二、三象限为负（） ；x r0,0xr0,0xr正切值对于第一、三象限为正（同号） ，对于第二、四象限为负（异号）.
5、y x,x y,x y可以用下图表示：说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.4.同角三角函数的基本关系式：平方关系：，22sincos1xx22sectan1xx22csccot1xx商数关系：，sintancosxxxcoscotsinxxx倒数关系：111sec,csc,tancoscoscotxxxxxx6.诱导公式：角与的三角函数间的关系；2()kkZ,;sin(2 )sinkcos(2 )cosktan(2 ) = tank角与的三角函数间的关系；,;sin()sin cos()costan()tan 角与的三角函数间的关系；(21)()kkZ,;sin(21)sink
6、cos(21)cosk tan(21)tank角与的三角函数间的关系.2,.sincos2cossin2 tancot2 4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般page 4 of 41情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一切割化弦等等.二、三角函数的图象与性质（一）知识内容单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与轴交点分别为x，而与轴的交点分别为，.由三角函数的定义可知，点的坐标(1,0)A( 1,0)A y(0,1)B(0, 1)BP为，即.其中，.(cos
7、,sin)(cos ,sin)PcosOMsinONNB(0,-1)A(-1,0)P(cos,sin)A(1,0)B(0,1)MOyxTT(1,tan)xyOA(1,0)这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点（或） ，则(或).(1, 0)ATTtanATAT有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负.三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作OxP( , )x y
8、P板块一：任意角的概念与弧度 制page 5 of 41轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点xM(1,0)A.我们就分别称有向线段，为正弦线、余弦线、正切线.TMPuuu rOMuuuu rATuuu r(一) 知识内容1.三角函数的图象2.函数的图象的作法五点法sin0,0,yAxAxR确定函数的最小正周期；2T令0、，得、x 23 22x 1 ()21()1 3()2，于是得到五个关键点、1(2)(,0) 1 (),1)21(),0)1 3(), 1)2；1(2),0)描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向
9、左、右扩展，得到函数的图象sin0,0,yAxAxR3.的图象sin0,0,yAxAxR函数的图象可以用下面的方法得到：先把的sin0,0,yAxAxRsinyx图象上所有点向左或向右平行移动个单位；再把所得各点的横坐标缩短(0)(0)|yxO2-2y=sinxx-2- Oy2xy=cosx -/2/23/2-3/2-Oyxy=tanx板块一：三角函数的图象page 6 of 41或伸长到原来的倍（纵坐标不变） ；再把所得的各点的纵坐标伸长或(1)(01)1 (1)A 缩短到原来的 A 倍（横坐标不变） ，从而得到的图象当函数(01)Asin()yAx表示一个振动量时：叫做振幅；叫做周期；叫做
10、频率；叫做相位，sin()yAxAT1 Tx叫做初相上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数下面把这个过程分解一下：(1)相位变换要得到函数的图象，可以令，也就是原来的变成了现在sin()(0)yx xxx的，相当于 x 减小了，即可以看做是把的图象上的各点向左x(0) sinyx或向右平行移动个单位而得到的这种由的图象变换为(0)(0)|sinyx的图象的变换，使相位由变为，我们称它为相位变换它实质上是一种sin()yxxx左右平移变换(2)周期变换要得到函数的图象，令，即现在的缩小到了原来的倍，sin(0,1)yxxxx就可以看做是把的图象上的各
11、点的横坐标缩短或伸长到原来的倍sinyx(1)(01)1 （纵坐标不变）得到，由的图象变换为的图象，其周期由变为，这种sinyxsinyx22 变换叫周期变换周期变换是一种横向的伸缩(3)振幅变换要得到的图象，令，即相当于变为原来的 A 倍，也就是把sin (0,1)yAx AA且yyAy的图象上的各点的纵坐标伸长或缩短到原来的 A 倍（横坐标不变）而sinyx(1)A (01)A得到的这种变换叫做振幅变换振幅变换是一种纵向的伸缩(一）知识内容板块二：三角函数图象变换 板块一：任意角的概念与弧度 制page 7 of 411函数图象平移基本结论小结如下：(0)( )()aayf xyf xa
12、左移个单位(0)( )()aayf xyf xa 右移个单位(0)( )( )aayf xyaf x 上移个单位(0)( )( )aayf xyaf x 下移个单位1 ( )()yf xyfx 各点横坐标变成原来的倍( )( )yf xAyf x 1各点纵坐标变成原来的倍A( )( )xyf xyf x 绕轴翻折这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出，以左移个单位的解a析式变化为例：设为左移个单位后所得图象上的任意一点，则将右移个单位得00(,)P xy( )yf xaa到的必在的图象上，故，又点任意，故00(,)P xa y( )yf x00()yf xa00(,)P xy的
13、图象左移个单位得到的新的函数的解析式为：( )yf xa()yf xa 函数变换可以用下图表示：( )()yf xyfx 绕y轴翻折page 8 of 41上 上 上 上 上1上 (1)上 上 上 上 上1上 (00)上 上 上 上 b(b0)上 上 上 上 上 上 A上 (01)y=sin(x+)y=Asin(x+)+by=Asin(x+)上 上 上 上bA(b0)上 上 上 上 上 上 A上 (A1)上 上 上 上(0)上 上 上 上 上1上 (1)上 上 上 上 上1上 (01)y=sin(x+)y=sin(x+)y=sinxy=sinx1.三角函数的性质函数sinyxcosyxtanyxcotyx定义域RR |,2x xRxkkZ且 |, x xRxk k Z且值域 1,1 1,1RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数有界性有界函数|sin| 1x 有界函数|cos| 1x 无界函数无界函数周期性（最小正周期）2T 2T T T 板块三：三角函数的性质板块一：任意角的概念与弧度 制page 9 of 41单调性2 ,2 22 32 ,2 22 ()kkkkZZ在在(21),2 ,2 ,(21) ()kkkk k ZZ在( ,2 2 ()kkkZZ在 ( , ()kk k Z在最值2 ,2
