考研数学高数中必考的个重要定理的证明

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1、 凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 1 页 共 4 页20172017 考研数学高数中必考的四个重要定考研数学高数中必考的四个重要定 理的证明理的证明2017 考研数学复习中的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，而 2016 考 研数学真题释放出一个明确信号考生需重视教材中重要定理的证明。下面为考生梳理 一下教材中要求会证的重要定理。一、求导公式的证明一、求导公式的证明2015 年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对 这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。实际上，从授课的角度，这种在 2015 年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础

2、阶段讲到。如果这个阶段的考生带 着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过 该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给 2017 考研学子提个醒：要重视基础 阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。当然，该公式的证明并不难。先考虑 f(x)*g(x)在点 x0 处的导数。函数在一点的导 数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0 分之 0”型， 但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。 利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有”的项要和前后都

3、有联系， 便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由 x0 的任意性，便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。类似可考虑 f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。二、微分中值定理的证明二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和 泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。费马引理的条件有两个：1.f(x0)存在 2. f(x0)为 f(x)的极值，结论为 f(x0)=0。考虑 函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出 f(x0)的

4、 极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“f(x0)为 f(x)的极值”翻译成数学 语言即 f(x) -f(x0)0)，对 x0 的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式， 不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极 限的保号性是个桥梁。费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下 面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无 愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可 导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该

5、点的导数凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 2 页 共 4 页为 0。该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我 们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌 握。如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。闲言少叙，言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗 尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的： 都是函数在一点的导数为 0。话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由 费马引理得结论不就行了。大方向对，但过程没这么简单。起码要

6、说清一点：费马引理的 条件是否满足，为什么满足?前面提过费马引理的条件有两个“可导”和“取极值”，“可导”不难判断 是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极 值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的 连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。那么最值和极值是 什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内 部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况讨 论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若

7、最值 均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个 闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区 间上任取一点都能使结论成立。拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭 双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理，那自然驾轻就熟; 此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结 论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变 形，变成罗尔定理结论的形式，移项

8、即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数 用罗尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程看等号左侧的式子是哪个函数求导后， 把 x 换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是 谁。当然，构造辅助函数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值 换成 x，再对得到的函数求不定积分。三、微积分基本定理的证明三、微积分基本定理的证明该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以 形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变 量。注意该求导

9、公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点 的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上 限积分函数在开区间上任意点 x 处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义 这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 3 页 共 4 页“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式 之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从 此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻 重

10、的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的 考生并不多。该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数 f(x)在闭区间连续，该公式的另一 个条件是 F(x)为 f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是 f(x)在该区间上的定积分等于其原函 数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件 成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。注意 到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语 言描述一下，即 f(x)对应的变上限积分函数为 f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数

11、 的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以 F(x)等于 f(x)的变上限 积分函数加某个常数 C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式 变形，不难得出结论。四、积分中值定理四、积分中值定理该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记 成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量 x 换成中值。如何证明?可能有 同学想到用微分中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下 分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理)，理由更充分 些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不

12、含导数，而待证的积分中值定理 的结论也是含有中值但不含导数。若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢?这里有个小的技巧 看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于 闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已 经不言自明了。若顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以对比一下介值定理和积分 中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常数 A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度， 就能达到我们的要求。当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还

13、是挺有迷惑性的， 要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。 这个数就相当于介值定理结论中的 A。接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。该定理条件有二：1. 函数在闭区间连续，2.实数 A 位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是该实数 能被取到(即 A 为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值 定理的条件成立。函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函 数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围，不难想到比较定理(或估凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 4 页 共 4 页值定理)。定理证明确属难点，但几乎没有考生敢于不去复习这部分，因为一旦考出来就是 大题，且在没复习的情况下当场做出的可能性很小。在此提醒 2017 的考研学子，掌握好以 上梳理的重要定理的证明，是通往高分的必经之路。