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1、12009200920092009年英国数学奥林匹克第年英国数学奥林匹克第年英国数学奥林匹克第年英国数学奥林匹克第2 2 2 2轮试题及解答轮试题及解答轮试题及解答轮试题及解答1.对于任意整数，设为n的最大质因数求所有的三个不同的正整数x，y，z，使其满足：1n p nx，y，z是等差数列；3p xyz 解：或，这里 , ,2 ,3, 2 ,3 ,4,x y zkkkkkk2 ,9 ,16kkk23mnk 不妨设若充分求出X，Y，Z不含任何公因数k的解，则全部的解集为，xyz, ,X Y Z, ,x y z,kX kY kZ其中23mnk 记，则与X具有相同奇偶性WYX2ZXW 因此X与Y必具
2、有相异奇偶性否则，X与Y同偶或同奇若X与Y同偶，则X、Y、Z都是偶数，有公因数2， 矛盾；若X与Y同奇，则X、Y、Z都是3的幂（含指数为0的情形）不妨设，这里3aX 3bY 3cZ ，则，则令，这里，则0abc332 3acb3 132 3ac ab132 3c ab abascat0st而，则，矛盾132 3ts1ts 1131313 32 3tsss 若X是奇数，则Z是大于1的奇数，于是Z是3的幂若，则X也是3的幂，于是也含3的1X 2XZY幂矛盾因此X必是1若，则（其中表示所有3nZ 1214111144 222nnnXZnmY 24m含或其更高次项的和）因此 n是奇数，否则Y是奇数，矛
3、盾从而但Y是一个2的幂这242 mod4Y 是因为Y显然不含大于3的质因数；也不含质因数3，否则不妨设，则，矛盾于是1332n Yu136nu，2Y 3Z 若X是偶数，则Y是奇数且是一个3的幂若X能被3整除，则也能被3整除矛盾因此X必是2ZYX 一个2的幂类似地，Z必是一个2的幂若X能被4整除，则由于Z是一个2的更大的幂，它也必能被4整 除于是是能被4整除，故能被2整除矛盾因此X必是2容易验算得2WZXYXW ，是它的解Y能被27整除时无解，证明如下：容易（虽然有点麻烦）由验 , ,2,3,4X Y Z 2,9,1612nZ算出，213,5,9,17,6,11,21,14,0,26,24,20
4、,12,23,18,8,15,2,3,mod272nZXY L其中于是我们必有时，得Y能被27整除1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,n L9 mod18n 但所以若，则Y也能被19整除于是Y213,5,9,17,14,8,15,10,0,18,16,12,4,7,13,6,11,2,3,mod19n L9 mod18n 不能是一个大于9的3的幂2.ABC中，D为AB上一点，且4AD=AB过D的射线l与C在AB的同侧，交ABC的外接圆于P，且 ，证明ADPACB 2PBPDA B C P D 证：连结AP则，又，故，APBADPAPB
5、ACB ADPACB APBADP 从而，即相似比为2故PB = 2PD224PAAD ABAD2PAAD23.设是一个正整数集的一一映射:f证明存在一个由正整数组成的等差数列，这里，使,2a ad ad0d 2f af adf ad一定存在一个等差数列，这里，使吗？,2003a adadL0d 2003f af adf adL证明：设，考虑，显然其中任意相邻两项与a都构成等差数列， 1f a 1,2,4,8,16,32,aaaaaaL在这些等差数列中，必存在一个满足要求这是因为：假设不存在满足要求的等差数列由于，其中i是非负整数，则必 12if af a有122iif af a即但是一个确定
6、的正整数，且12481632f af af af af af aL1f a 是一个正整数集的一一映射，从而小于的正整数有有限个，故在中必存在某:f1f a 2jf a 一个，满足且，其中则2kf a 112kf af aL21kf af a, j k ，这时公差的等差数列满足要求矛盾！ 122kkf af af a12kd1,2,2kka aa不一定存在 构造映射：11,| 22,| 43,34,|85,76,67,58,|169,1510,1411,1312,1213,1114,1015,916,|L以象f满足分成若干档，其中n是非负整数上述映射中“|”为分档线122nnf设在第i档，而第i
7、档的最大的象是分析各档里象的情况如下：2003f ad12i前档3i 第档2i 第档1i 第i档41 2i4321 2ii3221 2ii2121 2ii由于第档里象的个数为，又每档里最多只能选择一个，否则将出现1i 233222iii，故从而前档里最多只能选择一个故总共最多只能选择四个1f aidf aid42id3i 倘若从中选择五个及五个以上，由抽屉原理知，必定在后三档里存在某一档至少被选择了两个 因此题设中的映射不一定存在满足要求的等差数列4.设f是一个定义在非负整数集内的函数，使所有，有；0n 2221261fnfnf n 2fnf n问在函数f的象中有多少个数小于2003？ 解：1
8、28因为，所以 2221261fnfnf n 22222261262123fnfnf nfnfnfn 从而或但与22123fnfnfn2121fnfn22fn 2221261fnfnf n具有相反奇偶性，因此必有于是22fn2121fnfn 23fnf n从而，特别地，故一般地，由归纳推理得，f是严格单调递增的证明如下： 00f 11f3当时，显然成立；假设时，则n1 01ff21nk 01221fffkfkL，而，故 22313133fkf kf kf k 212131fkfkf k 2122fkfk又因为，所以23221fkfk2223fkfk从而因此f是严格单调递增的 0122212223ffffkfkfkfkL显然7128321872003f 12712613631362493149301327151327144081740fffffffff 81612124331212432364729136472936410932003ffff因此有128个相异数小于2003 0 ,1 ,127fffL
