G立体几何（理科）

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1、G G 立体几何立体几何G1 空间几何体的结构9G12012重庆卷 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1，和 a，且长为 a 的棱与2长为的棱异面，则 a 的取值范围是( )2A(0，) B(0，)23C(1，) D(1，)239A 解析 如图所示，设 ABa，CD，BCBDACAD1，则2ACDBCD45，要构造一个四面体，则平面 ACD 与平面 BCD 不能重合，当BCD 与 ACD 重合时，a0；当 A、B、C、D 四点共面，且 A、B 两点在 DC 的两侧时，在ABC 中， ACBACDBCD454590，AB，所以 a 的取值范围是AC2BC22(0，)2G2 空间几何体的三视

2、图和直观图13G22012辽宁卷 一个几何体的三视图如图 13 所示则该几何体的表面积为 _图 131338 解析 本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法解题的突 破口为弄清要求的几何体的形状，以及表面积的构成 由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成，几何体的表面积 S长方 体表面积圆柱的侧面积圆柱的上下底面面积，由三视图知，长方体的长、宽、高为 4、3、1，圆柱的底面圆的半径为 1，高为 1，所以 S2(434131) 21121238.7G2、G72012北京卷 某三棱锥的三视图如图 14 所示，该三棱锥的表面积是( )图 14 A286 B30655C5612

3、D6012557B 解析 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知 S底面 5410，12S后 5410，12S左 626，1255S右 4510，12 所以 S表1036306.5512G2、G72012安徽卷 某几何体的三视图如图 13 所示，该几何体的表面积是 _图 13 1292 解析 本题考查三视图的识别，四棱柱等空间几何体的表面积 如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为S 424254445492.12(25)10G22012天津卷 一个几何体的三视图如图 12 所示(单位：m)，则该几何体的 体

4、积为_m3.图 12 10189 解析 本题考查几何体的三视图及体积公式，考查运算求解及空间想象 力，容易题 由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体，其体积V6312 3189.43(32) 4G22012福建卷 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体 不可以是( ) A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱4D 解析 本题考查简单几何体的三视图，大小、形状的判断以及空间想象能力，球 的三视图大小、形状相同三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有圆柱 不同 6G22012广东卷 某几何体的三视图如图 11 所示，它的体积为( )图 11 A12 B45 C57

5、D816C 解析 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成，圆柱与圆锥的半径 R3，圆锥的高 h4，圆柱的高为 5，所以 V组合体V圆柱V圆锥325 32457，所以选13 择 C. 4G22012湖北卷 已知某几何体的三视图如图 12 所示，则该几何体的体积为( )图 12A. B383C. D61034B 解析 根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以V2 23.故选 B.12 3G22012湖南卷 某几何体的正视图和侧视图均如图 11 所示，则该几何体的俯 视图不可能是( )图 11 图 12 3D 解析 本题考查三视图，意在考查考生对三视图的辨析，以及对三视图的理解 和

6、掌握是基础题型. 选项 A，B，C，都有可能，选项 D 的正视图应该有看不见的虚线，故 D 项是不可能的 易错点 本题由于对三视图的不了解，易错选 C，三视图中看不见的棱应该用虚线标 出 7G2、G72012课标全国卷 如图 12，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )图 12 A6 B9 C12 D18 7B 解析 由三视图可知，该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为 6 的等腰直角三 角形，有一条长为 3 的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是 3)，可知底面等腰直角三角形斜边上的高为 3，故该几何体的体积是 V 6339，故选 B.1312 11G2

7、、G72012浙江卷 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图 13 所示，则该三 棱锥的体积等于_cm3.图 13111 解析 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则V Sh 1321.131312 点评 正确的识图是解决三视图问题的关键，同时要注意棱长的长度、关系等G3 平面的基本性质、空间两条直线18G3、G52012陕西卷 (1)如图 16 所示，证明命题“a 是平面 内的一条直线， b 是 外的一条直线(b 不垂直于 )，c 是直线 b 在 上的投影，若 ab，则 ac”为真；图 16 (2)写出上述命题的

8、逆命题，并判断其真假(不需证明)18解：(1)证法一：如下图，过直线 b 上任一点作平面 的垂线 n，设直线 a，b，c，n 的 方向向量分别是 a，b，c，n，则 b，c，n 共面根据平面向量基本定理，存在实数 ， 使得 cbn，则 aca(bn)(ab)(an)，因为 ab，所以 ab0， 又因为 a，n，所以 an0， 故 ac 0，从而 ac. 证法二：如图，记 cbA，P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点，过 P 作 PO，垂足为 O，则 Oc. PO，a，直线 POa， 又 ab，b平面 PAO，PObP， a平面 PAO，又 c平面 PAO，ac.(2)逆命题为：a 是平面

9、内的一条直线，b 是 外的一条直线(b 不垂直于 )，c 是直线 b 在 上的投影，若 ac，则 ab. 逆命题为真命题G4 空间中的平行关系18G4、G7、G112012全国卷 如图 11，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA底面 ABCD，AC2，PA2，E 是 PC 上的一点，PE2EC.2(1)证明：PC平面 BED； (2)设二面角 APBC 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小图 1118解：方法一：(1)因为底面 ABCD 为菱形，所以 BDAC， 又 PA底面 ABCD，所以 PCBD. 设 ACBDF，连结 EF.因为 AC2，2PA2，PE2E

10、C，故 PC2，EC，FC，32 332从而，.PCFC6ACEC6因为，FCEPCA，PCFCACEC 所以FCEPCA，FECPAC90， 由此知 PCEF. PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD，EF 都垂直，所以 PC平面 BED. (2)在平面 PAB 内过点 A 作 AGPB，G 为垂足 因为二面角 APBC 为 90，所以平面 PAB平面 PBC. 又平面 PAB平面 PBCPB， 故 AG平面 PBC，AGBC. BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA，AG 都垂直，故 BC平面 PAB，于是 BCAB，所以 底面 ABCD 为正方形，AD2，PD2.PA2AD22设

11、 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 ADBC，且 AD平面 PBC，BC平面 PBC，故 AD 平面 PBC，A、D 两点到平面 PBC 的距离相等，即 dAG.2设 PD 与平面 PBC 所成的角为 ，则 sin .dPD12 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.方法二：(1)以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标 系 Axyz.设 C(2，0,0)，D(，b,0)，其中 b0，则 P(0,0,2)，E，B(，b,0)22(4 23，0，23)2于是(2，0，2)，PC2，BE(23，b，23)DE(23，b，23)从而0，0，PCBE

12、PCDE故 PCBE，PCDE. 又 BEDEE，所以 PC平面 BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)APAB2 设 m(x，y，z)为平面 PAB 的法向量，则 m0，m0，APAB即 2z0，且xby0，2令 xb，则 m(b， ，0)2设 n(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，则n0，n0，PCBE即 2p2r0 且bq r0，22p323令 p1，则 r，q，n.22b(1，2b， 2)因为面 PAB面 PBC，故 mn0，即 b 0，故 b，于是 n(1，1，)，(2b22DP，2)，22cosn， ， n，60.DPnDP|n|DP|12DP因为 PD 与平面 PBC 所

13、成角和n，互余，故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.DP18G4、G5、G112012福建卷 如图 13，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AA1AD1，E 为 CD 中点 (1)求证：B1EAD1； (2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存 在，说明理由； (3)若二面角 AB1EA1的大小为 30，求 AB 的长图 1318解：(1)以 A 为原点， ，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直ABADAA1角坐标系(如图)设 ABa，则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0

14、,1)，故(a2，1，0)AD1(0,1,1)，(a,0,1)，.B1E(a2，1，1)AB1AE(a2，1，0) 011(1)10，AD1B1Ea2 B1EAD1.(2)假设在棱 AA1上存在一点 P(0,0，z0)，使得 DP平面 B1AE.此时(0，1，z0)DP又设平面 B1AE 的法向量 n(x，y，z)n平面 B1AE，n，n，得Error!AB1AE取 x1，得平面 B1AE 的一个法向量 n.(1，a2，a)要使 DP平面 B1AE，只要 n，有 az00，解得 z0 .DPa212又 DP平面 B1AE，存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP .12 (3)连接 A1D，B1C，由长方体 ABCDA1B1C1D1及 AA1AD1，得 AD1A1D. B1CA1D，AD1B1C. 又由(1)知 B1EAD1，且 B1CB1EB1，AD1平面 DCB1A1.是平面 A1B1E 的一个法向量，此时