《高中圆锥曲线教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中圆锥曲线教案（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、锦程教育学校1第二章第二章第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程曲线与方程2.1.1 曲线与方程曲线与方程 2.1.2 求曲线的轨迹方程求曲线的轨迹方程 学生探究过程： (一)复习引入 大家知道，平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研 究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析 (二)几种常见求轨迹方程的方法 1直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得
2、出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代 替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法 例 1(1)求和定圆 x2+y2=k2的圆周的距离等于 k 的动点 P 的轨迹方程； (2)过点 A(a，o)作圆 Ox2+y2=R2(aRo)的割线，求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹 对(1)分析： 动点 P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点 P 的运动规律：|OP|=2R 或 |OP|=0 解：设动点 P(x，y)，则有|OP|=2R 或|OP|=0 即 x2+y2=4R2或 x2+y2=0 故所求动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=4R2或 x2+y2=0 对(2)分析：
3、题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与 弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为 M(x，y)，连结 OM， 则 OMAMkOMkAM=-1，其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆 O 内的一段弧(不含端点) 2定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹 方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值 的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件直平分线 l 交半径 OQ 于点 P(见图 245)，当 Q 点在圆周上运动时，求点 P
4、 的轨迹方程锦程教育学校2分析： 点 P 在 AQ 的垂直平分线上，|PQ|=|PA| 又 P 在半径 OQ 上|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R 故 P 点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出 P 点的轨迹方程 解：连接 PA lPQ，|PA|=|PQ| 又 P 在半径 OQ 上|PO|+|PQ|=2由椭圆定义可知：P 点轨迹是以 O、A 为焦点的椭圆3相关点法 若动点 P(x，y)随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动，且 x0、y0可用 x、y 表示，则将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P 的轨迹方程这种方法称为相关点法(或代换法) 例 3 已知抛
5、物线 y2=x+1，定点 A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点 P 在线段 AB 上，且有BPPA=12，当 B 点在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程 分析： P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动，因此 B 可作为相关点，应先找出点 P 与点 B 的联系 解：设点 P(x，y)，且设点 B(x0，y0)BPPA=12，且 P 为线段 AB 的内分点锦程教育学校34待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 例 4 已知抛物线 y2=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在 y 轴上的双曲曲线方程 分析： 因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在 y 轴上，所以可设双曲线方ax
6、2-4b2x+a2b2=0 抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0 应有等根=1664-4Q4b2=0，即 a2=2b (以下由学生完成)由弦长公式得：锦程教育学校4即 a2b2=4b2-a2(三)巩固练习 用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果练习题用一小黑板给出 1ABC 一边的两个端点是 B(0，6)和 C(0，-6)，另两边斜率的2点 P 与一定点 F(2，0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 12，求点 P 的轨迹方程， 并说明轨迹是什么图形？ 3求抛物线 y2=2px(p0)上各点与焦点连线的中
7、点的轨迹方程 答案：义法)由中点坐标公式得：(四)、教学反思 求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是 求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍锦程教育学校5五、布置作业五、布置作业 1两定点的距离为 6，点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26，求点 M 的轨迹方程 2动点 P 到点 F1(1，0)的距离比它到 F2(3，0)的距离少 2，求 P 点的轨迹 3已知圆 x2+y2=4 上有定点 A(2，0)，过定点 A 作弦 AB，并延长到点 P，使 3|AB|=2|AB|，求 动点 P 的轨迹方程作业答案： 1以两定点 A
8、、B 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，得点 M 的 轨迹方程 x2+y2=4 2|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|P 点只能在 x 轴上且 x1，轨迹是一条射线六、板书设计六、板书设计锦程教育学校62.22.2 椭椭 圆圆2.2.12.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 过程与方法目标过程与方法目标 （1）预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的 交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截 口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你
9、能理解为什么把圆、椭圆、双 曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子当学生把上述两个问 题回答清楚后，要引导学生一起探究 P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条 （约 10cm 长，两端各结一个套） ，教师准备无弹性细绳子一条（约 60cm，一端结个套，另一端 是活动的） ，图钉两个） 当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆启发性提问： 在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？板书211 椭圆及 其标准方程 （2）新课讲授过程 （i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义板书把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨
10、迹叫做1F2F12F F椭圆（ellipse） 其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距即当动点设为时，椭圆即为点集MP 12|2MMFMFa（ii）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第 二、注意图形的特殊性和一般性关系无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的几何意b, ,a b c义锦程教育学校7类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程y222210yxabab（iii）例题讲解与引申例 1 已知椭圆两个焦点的坐
11、标分别是，并且经过点，求它的标准2,02,053,22方程分析分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出引导学生用其他方法来, ,a b c解另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，222210xyabab53,22则222225911044 64aab bab例 2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的224xyPPx垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点的PDDPPDM 轨迹是什么？分析分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的P224xyPMMP伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方MPDMPM 程引申引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中
12、点的轨迹方程6,2AP22 1259xyAPM解法剖析解法剖析：（代入法求伴随轨迹）设，；（点与伴随点的关系）,M x y11,P x y为线段的中点，；（代入已知轨迹求出伴随轨迹） ，MAP112622xxyy ，点的轨迹方程为；伴随轨迹表示的范围22 111259xyM22311 2594xy例 3 如图，设，的坐标分别为，直线，相交于点，且它AB5,05,0AMBMM们的斜率之积为，求点的轨迹方程4 9M分析分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的,M x yAMBM, x y锦程教育学校8式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得AMBM4 9, x y到点的轨
13、迹方程M解法剖析解法剖析：设点，则，；,M x y55AMykxx 55BMykxx代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程M4 559yy xx M引申引申：如图，设的两个顶点，顶点在移动，且ABC,0Aa,0B aC，且，试求动点的轨迹方程ACBCkkk0k C引申目的有两点：让学生明白题目涉及问题的一般情形；当值在变化k 时，线段的角色也是从椭圆的长轴圆的直径椭圆的短轴AB2 21 12 2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 过程与方法目标过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过 对椭圆的标准方程的讨论，研究椭
14、圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培 养由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；由方程的性质得到椭圆的对称 性；先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；通过 P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率板书212 椭圆的简单几何性 质 （2）新课讲授过程 （i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位 置要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质 （ii）椭圆的简
15、单几何性质范围：由椭圆的标准方程可得，进一步得：，同理可得：222210yx ba axa ，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；byb xa yb 对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的xxyyxxyy 标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；xy 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做 圆锥曲线的顶点因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴， 较短的叫做短轴；离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（） ，ace 10 e； 椭圆图形越扁时当01a，b，ce椭圆越接近于圆时当a，b，ce00锦程教育学校9（iii）例题讲解与引申、扩展例 4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标221625400xy分析分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出引导学生用椭圆的长轴、, ,a b c短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量扩展扩展：已知椭圆的离心率为，求的值22550mxym m
