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1、1室内空气流动数值模拟的误差预处理法Error-pretreatment method for numerical simulation of indoor air flow摘要：为加快室内空气流动数值模拟计算收敛速度，基于对多重网格法关于高频和低频误差的思想，采用误差预处理法对室内气流动的离散代数方程组进行由粗到细网格上的迭代求解。用该方法和传统迭代法对室内空气等温和非等温流动分别进行模拟，其对比结果表明，误差预处理算法显著提高室内空气流动数值模拟的收敛速度，可将收敛时间减小到原来的 1/31/2。关键词：室内空气流动；误差预处理法；数值模拟；误差 Abstract: Since the m
2、ulti-grid method is not proper for numerical procedures based on SIMPLE, a simpler and more effective algorithm to solve the algebraic equations, the error-pretreatment method, is proposed to accelerate convergence for indoor air flow simulation. The algorithm is abased on the theory that iteration
3、errors can be divided into high frequency and low frequency ones. Two isothermal and non- isothermal indoor airflow examples were simulated with this method and the conventional iteration method. The error-pretreatment method improves the convergence speed for numerical simulation of indoor airflow
4、by reducing convergence time by 1/21/3.Key words: indoor airflow; error-pretreatment method; numerical simulation; error如何快速、准确地模拟和预测工程中需要优化或进行比较的大量工况，一直是 CFD（computational fluid dynamics）技术应用于空调通风房间内空气流动的数值模拟仿真存在的问题。作为室内空气流动数值模拟主要组成部分的代数方程求2解算法，对计算速度有着很大影响。多重网格法对加快控制室内空气流动的非线性 N-S 方程的迭代计算收敛速度比较有效1，
5、但是对于室内空气流动数值模拟常用的 SIMPLE （semi-implement method of pressure linked equation）算法而言，多重网格法的收敛加速效果并不显著1。基于多重网格法的思想，提出了适于SIMPLE 算法的误差预处理方法，以加快迭代计算的收敛速度，更好地适应工程需要。1 高频和低频误差理论首先简要介绍多重网格法关于高频和低频误差的理论。因为对任意形状计算域中的任意形状的网格，总可以使用保角变换把它们变到矩形计算域上的矩形网格。所以以下讨论均基于矩形计算域和矩形网格。任给定一个划分好网格的计算域，总可以把它划分为 ABC 个区域，使得每个区域上的网格分
6、别在 3 个方向上是均匀的。设 f（x, y, z）为差分后的初始误差，第（u, v, ）区域的尺寸为 2au 2bv 2c，网格数为 M u N v K。在每个区域内，3 个方向上分别只有周期等于或低于 2M u ，2N v，2K 的分量能够被表示出来。因此：Ai,j,k,u,v,w sin +B I，j,k,v,w cos Ci,j,k,u,v,w sin +Di j,k,v,w cos Ei,j,k,u,v,w sin +F i,j,k,v,w cos ， Ai,j,k,u,v,w ，Bi,j,k,u,v,w ，Ci,j,k,u,v,w ，Di,j,k,u,v,w ，Ei,j,k,u,v
7、,w ，Fi,j,k,u,v,w (u , v , w)Ai,j,k,u,v,w ，Bi,j,k,u,v,w ，Ci,j,k,u,v,w ，Di,j,k,u,v,w ，Ei,j,k,u,v,w ，Fi,j,k,u,v,w = 常数Ai,j,k,u,v,w ，Bi,j,k,u,v,w ，Ci,j,k,u,v,w ，Di,j,k,u,v,w ，Ei,j,k,u,v,w ，Fi,j,k,u,v,w (u , v , w)Ai,j,k,u,v,w ，Bi,j,k,u,v,w ，Ci,j,k,u,v,w ，Di,j,k,u,v,w ，Ei,j,k,u,v,w ，Fi,j,k,u,v,w = 0 （1）其
8、中：t x,u,v,w =0,1,，M u ；t y,u,v,w =0,1,，N v ；t z,u,v,w =0,1,，Kw ； 根据多重网格理论，I / M u ，j / N v，k/K 小的项（称为“低频误差“），收敛速度很慢，是妨碍迭代法快速收敛的主要因素。而如果减小 M u ， N v， K ，即把3网格粗化，就可以使误码差频率变高，并使一部分细网格上的低频误差转达化为粗网格上的高频误差。如果交替运用粗细网格进行迭代，利用粗网格快速消除低频误差，在细网格上提高精度，就可以加快收敛速度。2 误差预处理的基本思想和算法21 误差预处理法传统迭代法是在整个计算区域的所有网格上同时进行迭代计算
9、至收敛。但如果能先求出一些点的值，然后再根据它们来预测所有点的值，只要预测方法得当，从误差削减的角度而言，就可以获得比迭代法高得多的效率。可先在粗网格上迭代计算至问题收敛，然后借助该预测方法把粗网格上的值映射到细网格上作为迭代初值，再进行迭代计算直至收敛。该方法的基本思想在于通过在粗网格上用比较少的时间（相对于在细网格上迭代）来获得问题的大致描述，以便通过线性插值大量削减误差，称其为“误差预处理法“。假设已知如图 1 计算域中点A，B，C，D，E，F，G，H 的真实值。各点坐标分别为：A（x - d a , y + d y , z + d z） B（x + d x , y + d y , z
10、+ d z）C（x - d a , y + d y , z - d c）D（x + d x , y + d y , z - d c）E（x - d a , y - d b , z + d z）F（x + d x , y -d b , z + d z）G（x - d a , y - d b , z - d c）H（x + d x , y - d b , z - d c）图 1 计算示意图由流体流动的输运控制方程可知，点 I 上的值只受其相邻点上的值的影响，即只受 A，B，C，D，E，F，G，H 点的影响。因此，可以用这些点上的值来预测一个误差比较小的 I 的估计值。4很自然，用这 8 个点的加权
11、平均值作为 I 的值：P （I）= MA f (A) + M B f (B) + MC f (C) + MD f (D) + ME f (E) + MF f (F) + MG f (G) + MH f (H), (2)其中，P（I）表示预测值，f( * ) 表示相应点的真实值，M x 表示加权系数：由守恒律，有：MA + M B + MC + MD + ME + MF + MG + MH = 1 (3)离 I 比较近的点对 I 的影响应该比较大，即较近的点加权系数应较大。结合式（3），可以根据面积律导出加权系数1：MA =(d x d b d c )/(d x + d a )(d y + d
12、b )(d z + d c )MB =(d a d b d c )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )MC =(d x d b d z )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )MD =(d a d b d z )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )ME =(d x d y d c )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c ) (4)MF =(d a d y d c )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )MG =(d
13、 x d y d z )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )MH =(d a d y d z )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )将式（4）代入式（2），得P（ x , y , z ）= (d a d b d c )f (x + d x,y +d y,z + d z)+(d a d b d z )f (x + d x,y +d y,z - d c)+(d a d y d c )f (x + d x,y -d b,z + d z)+(d a d y d z )f (x + d x,y -d b,z - d c)+(d
14、x d b d c )f (x - d a,y +d y,z + d z)+(d x d b d z )f (x - d a,y +d y,z - d c)+(d x d y d c )f (x - d a,y -d b,z + d z)+(d x d y d z )f (x - d a,y -d b, z - d c) /(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c ) (5)显然，实际物理问题的解都是简单函数。故由 Taylor 公式，有 f ( x+d x,y + d y,z + d z) = f (x, y, z)+ fx (x, y, z)dx + fy (x
15、, y, z)dy+ f z (x, y, z)dz + O (d x2 + d y2 + d z2) (6)类似写出其它项，把它们代入式（5），并考虑到5O (d x2 ) = O (d a2 )，O (d y2 ) = O (d b2 )，O (d z2 ) = O (d c2 ) (7)可以得出： P（x, y, z）-f（x, y, z）= O (d x2 + d y2 + d z2) (8)上式表明上述插值方法具有二阶精度，而且它是显式方法，效率远远高于迭代方法。综上所述，误差预处理的算法如图 2 所示。图 2 误差预处理法的计算流程图 2 中当运算进行到限制和插值时即采用上述的预测方法。由此可见，误差预处理法本身不仅是数学方法，而且也蕴涵了一定的物理意义。 22 误差预处理法计算速度分析如前所述，对一个数值模拟过程，先把细网格合并成粗网格进行计算，得到问题的一个粗略描述，通过它们预测出细网格上的估计值，以其为初值再进行迭代。由于在粗网格上的每一步计算量大大低于在细网格上的计算量，而且预测过程的误差消除效率高于迭代法，故只要将由粗网格迭代和网格值映射所带来的迭代步数的增加控制在一定范围以内，就可以加快迭代收敛速度
