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1、1 -4，3216)3ln(xxy2、 xxy21)5()2 ,(3、 -2, 1 24)2ln(1xxy)4. 11ln 412 xxy) 1,()4 , 1 (（5）. （1，3）xxy3) 1ln(6). 函数 的定义1142 xxy域是 )2,(), 2 （7）.设函数的定义域是；)(xf) 1 , 0(则的定义域是 )(axf)1 ,(aa （8）.若函数的定义域是0，1，)(xf则的定义域是1，e)(ln xf（10）.若函数的定义域为)(xf0，2，则函数的定义域是) 1( xf1，3 （1）.下列函数中， （ ）组的两 个函数是相等函数。BB. 与 2ln)(xxxxxfxxx
2、g1ln)(2).下列函数中， （ ）组的两个 函数相等。BB . 与 xxftan)(xxxgcossin)(“奇函数奇函数 奇函数偶函数为 奇函数；偶函数偶函数 偶函数偶 函数 奇函数奇函数为偶函数（1）.下列函数（ ）是奇函数. DA B . xxysin22xxeeyC. D.12xxyxxeey下列函数中（ ）是偶函数. CA. B .1sin2xxyxxy11lnC . D )()(xfxfy.)()(xfxfy下列函数中（ ）是偶函数。 BA. B C . )(xf)( xf)(2xfD . )()(xfxf（4）.下列函数中， （ ）是奇函数。 （B）A . B. xxysin
3、3C .)1ln(2xxyD. 2xxeey2sin2xxy导数四则运算法则：（1）vuvu )(（2）vuvuuv )(（3）2)(vvuvu vu复合函数求导法则：函数，则)(),(xfuuy)(xfy或者 xyuuu)(xuuyy求复合函数的导数基本步骤： （1）分解：将复合函数分解成基 本初等函数运算的形式（；，)(xfy)(),(),(xvvuufy求导：对每个函数求导；)(),(,)(xvvuufyxxvvuu乘积：将所有导数乘积；xvuxvuyy )()()(xvufxvu代回：整理，表达为 的函数为xy)(xfyx例如，求。xey1siny解：基本步骤：分解 原式分解为 xvv
4、ueyu1,sin,求导 21,)(sin,)( xvconvvueeyxvvu uu u乘积 )1(2xconveyu代回 )1(1)1(221sin2xxconexconveyuxconexx111sin2或 )1(sin21sin xey )1)(1(21sinxxcone)1(1221sinxxconexconexx111sin2例题 1 设，求32ln1xyy解：分解 ， 3uy 21vuxvln 求导 3232 31 31 31)( uuuyuuvvuvv2)1 (2xxv1)(ln乘积 321 31uy v2x1322)ln1 (1 31xxln2x1322)ln1 (ln2 3
5、1xxx隐函数求导是复合函数求导的特 例，按隐函数求导方法结合隐函数的 特点就可以求导，重点把握住导数四 则运算的乘积法则和复合函数求导法 则。例题 2： 由方程，0sinyxey确定的是隐函数，求yxy解：对方程两边同时求导，得0)()(sinyxey0)(yyexexconyy0yyeyxeconyy0)(yyexeconyyyyxeconyey例题 3 由方程，确定的0xyeyx是隐函数，求yxy解：对方程两边同时求导，得0)()(xyeyx0)(yxyxeyxyx0)1 (yxyeyyxxeyeyyxyx)(经济数学经济数学基础基础辅导辅导 积分学（积分学（1）积分积分 概念与第一换元
6、法概念与第一换元法 积分是微分的逆运算，要掌握积分的运算事先必须熟练掌握导数的运 算，在求积分的过程中处处会应用导 数的运算。 一，积分的概念 1 原函数与不定积分的概念原函数是指的导数等)(xF)(xF于，即为函数的一)(xf)(xF)(xf个原函数，一个函数的原函数是一族函数+c，这里 c 是任意常数。)(xF+c 称的全体原函数，)(xF)(xf因为=那么要求一个函数)(xF)(xf的原数，就已知函数的导)(xf)(xF数求，正是一个导数运算)(xF)(xF的逆运算。我们将原函数的全体+c 称函)(xF数的不定积分。记作：)(xfcxFdxxf)()(称被积函数，称积分变量。)(xfx不
7、定积分的性质 cxfdxxf)()()()(xfdxxf2 定积分定积分表示为，他与badxxf)(不定积分在形式上很相似，但是两个 不同的概念。不定积分是函数，而定积分是个数值，为，)()(aFbF但在计算方法上可以完全依赖不定积 分的计算方法求得定积分的结果。)()()(aFbFdxxfba3 变上限定积分 变上限定积分就是将上限看作是自 变量的定积分，即x)()()(aFxFdxxfxa它显然也是的一个原函数，由此)(xf可知，将=代入)(xf)(xF，得)()(aFxFxadxxf)()()(aFxFxadxxF)(需要特别指出的是，定积分的值是与积分变量用什么badxxf)(字母表示
8、无关的，即有，badxxf)(badttf)(badxxf)(baduuf)(等。 当定积分上限小于下限时，我们 规定abdxxf)(badxxf)(axdxxf)(xadxxf)(二积分的运算 首先要熟练掌握积分的基本公式。 要求掌握直接积分法 凑微分法 分部 积分法。 1 直接积分：就是直接利用积分基 本公式运算积分的方法。一般地， 需要先对被积函数进行一些处理。例 1 求不定积分dxxxx)1)(1 (解：对任一个积分，我们总是试 图（利用各种方法）将其化成为可以 方便地利用基本积分公式，本例的被积函数是两个初等函数和x1的乘积，为了利用幂函数的xx1积分公式，首cxndxxnn1 11
9、先将被积函数如下化简 对与积分公式，可如下巧妙cxndxxnn1 11到记忆和使用。考虑到积分结果中幂函数的幂次与其系数的倒数1nx11 n 关系，在写出积分结果时，可以先由被积函数 写出幂次的幂函数nx1n，再由其幂次为写出其倒数1nx1n作为幂函数的系数，如此再11 n1nx添加任意常数 c 就可准确地得到幂函数的积分结果，例如nxcxdxx 12323252.凑微分法 凑微分法的基本思想是“凑微分， 使变量一致” ，使变量一致是指被积函 数的自变量与新凑成的积分变量一致。例 2 求不定积分dxxx232解： 如上题，求一个积分，总是 希望能直接利用积分基本公式，即直 接积分法，尽管可能在
10、此之前需要对 被积函数经过一定形式的化简，现在 被积函数也很难那21 22)32(32xxxx样经过简单代数运算化为 直接应用 积分基本公式的积分，原因在于两个乘积因子均作为幂函21 2)32(xx与数来看待时，其底不21 2)32(xx与是一致的。一般来讲，对于不能直接 运用直接积分法积分的，常是试探着 利用凑微分方法的可能性。凑微分方 法的根本思想是通过简单的微分运算 将有关积分变量的积分x变换为另一变量（ dxxgxf)()(u可能是的函数）的积分ux)(xuu ，而这个积分可以直接利用duuG)(积分公式求得结果。这就是凑微分法。令根号下的式子为新变量较为方便，于是被积函数232xu表
11、达式成为，为使积分变量改duxu21为变量的微分形式，由微uduuG)(分与导数的计算关系，)()(xdudxxu得dxxdxxxdx)(21 2122 dxxdxx) 23(61)3)(31(2122dudxudxx6161)32 (612再将变量还原为变量，232xux即原积分cx23 2)32(91例 3 求不定积分。)ln31 (xxdx解：由导数基本公式可得xx1)(ln)ln1 (31)ln3(31)(ln1xxxx，于是)ln31 (xxdx31)ln31 (31 )ln31 (dxxxxdx)ln31 ()ln31 (1xdxx同样，亦可由及xuln31，得dxxdu13)ln
12、1 (31 311xddudxx原式=cxcuudu xxxdln31ln31ln31 31 )ln31 ()ln31 ( 31例 4 求不定积分xdxxlnsin1解：令则xulndxxdu1cxcuududx xxxdx xlncoscossin)1(lnsinlnsin1例 5 求不定积分dxxex21解： 令dxxxdduxu21)1(,1cecedue xdedx xedx xexuuxxx 112121)1()1(经济数学基础经济数学基础辅导辅导 积积分分分部积分法分部积分法分部积分法公式 dxuvuvdxvu可以利用分部积分法的函数有以下几 种：幂函数乘以指数函数，设幂函数 为；
13、幂函数乘以对数函数，设对数u 函数为；幂函数乘以正（余）弦函u 数，设幂函数为；指数函数乘以正u （余）弦函数，任取。u例 6 求不定积分dxexx2解：这是一个被积函数为幂函数和2x指数函数的乘积。符合第一种情xe况。设 xdxdxduxu2,22dxedvxxxedxevdxxeexdxexexdxexxxxxx2)()(2)(222对于再用一次分部积分法 令dxxexdxdxduxu ,dxedvxxxedxevxxxxxexedxexedxxe原式cexxexeexxxxx)22()(2)(22例 7 求不定积分。xdxx ln解：被积函数是幂函数乘以21 xx 对数函数，属于第二种情
14、况，设xln23 21 2132,1,lnxdxxvdxxdvdxxduxudxxxxxxdxx1 32ln32ln232xdxxx32ln3223cxxx22331ln32例 8 求不定积分xdxx sin2解： 被积函数为幂函数乘以正弦2x函数，取xdxdvxdxduxusin,2,2xxdxvcossinxdxxxxxdxcoxxxxdxxcos2cos2cossin222对于再用一次分部积分，xdxxcos有 取xxdxvxdxdvdxduxusincos,cos,xxxxdxxxxdxxcossinsinsincos原式cxxxxx)cossin(2cos2例 9 求不定积分xdxex2sin解：被积函数是指数函数乘以余xe弦函数，取x2sinxxdxvxdxdvdxedueuxx2cos22sin,2sin,x
