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1、1限时作业 41 空间向量及其运算 一、选择题1.对空间任意一点 O,若=+,则 A,B,C,P 四点( ).A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.与 O 点的位置有关2.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 ab,则( ).A.x=1,y=1B.x=,y=-C.x=,y=-D.x=-,y=3.已知空间四边形 ABCD 中,M,G 分别为 BC,CD 的中点,则+(+)等于( ).A.B.C.D.4.若 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|取最小值时,x 的值为( ).A.19B.-C.D.5.若向量 a=(1,2),b=(2,-1,2)且 a 与
2、b 的夹角的余弦值为,则 等于( ).A.2B.-2C.-2 或D.2 或-6.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,点 M 在上且=,N 为 B1B 的中点,则|为( ).A.aB.aC.aD.a二、填空题7.如图所示,已知空间四边形 ABCD,F 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,若=(+),则 = . 8.设向量 a=(-1,3,2),b=(4,-6,2),c=(-3,12,t),若 c=ma+nb,则 t= ,m+n= . 29.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D 为 BB1的中点,则异面直线 C1D 与A1C 所
3、成角的余弦值为 . 三、解答题10.已知向量 b 与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足 ab=18,(ka+b)(ka-b),求向量 b 及 k 的值.11.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是,点 D 在平面 yOz 内,且BDC=90,DCB=30.(1)求的坐标;(2)设和的夹角为 ,求 cos 的值.312.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,ADBC,ABC=90,PA平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.(1)求证:BD平面 PAC;(2)求二面角 P-BD-A 的大小.参考答案一、选择题1.B 2.
4、C 3.A 4.C 5.C6.A 解析:以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设 M(x,y,z).点 M 在上且=.(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),x=a,y=,z=.4于是 M.|=a.二、填空题7. 8.11 9. 解析:以 A 为原点建立空间直角坐标系,如图,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,1,2),则=(1,-1,-1),=(0,1,-2),|=,|=,=1,cos=,故异面直线 C1D 与 A1C 所成角的余弦值为.三、解答题10.解:a,b 共线,存在实数 ,使 b=a
5、,ab=a2=|a|2=(22+1+22)=18,解得 =2.b=(4,-2,4).(ka+b)(ka-b),(ka+b)(ka-b)=0.(ka+2a)(ka-2a)=0.(k2-4)|a|2=0.k=2.11.解:(1)如图所示,过 D 作 DEBC,垂足为 E.在 RtBDC 中,由BDC=90,DCB=30,BC=2,得BD=1,CD=.DE=CDsin 30=.OE=OB-BDcos 60=1-=.D 点坐标为,即的坐标为.5(2)依题意,=,=(0,-1,0),=(0,1,0),=-=,=-=(0,2,0).由和的夹角为 ,得 cos =-.cos =-.12.(1)证明:如图,建立坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),=(0,0,3),=(2,6,0),=(-2,2,0).=0,=0.BDAP,BDAC.又PAAC=A,BD平面 PAC.(2)解:设平面 ABD 的法向量为 m=(0,0,1),设平面 PBD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n=0,n=0.=(-2,0,3),解得令 x=,则 n=(,3,2),cos =.二面角 P-BD-A 的大小为 60.
