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1、尤新教育辅导学校- 1 -第三章第三章 函数函数 一、基础知识一、基础知识 定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。 定义 2 单射，若 f: AB 是一个映射且对任意 x, yA, xy, 都有 f(x)f(y)则称之为单射。 定义 3 满射，若 f: AB 是映射且对任意 yB，都有一个 xA 使得 f(x)=y，则称 f: AB 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射，若 f: AB 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从 B 到 A 由相
2、反的对应法则 f-1构成的映射，记作 f-1: AB。 定义 5 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的 定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集 合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3-1 的定义域为x|x0,xR.x定义 6 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是
3、：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y=的反函数是 y=1-(x0).x11 x1定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 7 函数的性质。 （1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1 f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对
4、称的数集，若对于任意的 xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶 函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 （3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个 数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在 最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 aa记作开区间（a, +） ，集合x|xa记作半开半闭区间 （-,a. 定义 9 函数的图象，点集(x,y)
5、|y=f(x), xD称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义 域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平 移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下 平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函 数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称； （7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。定理 3 复合函数 y=fg(x)的单
6、调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y=, u=2-x 在x21（-,2）上是减函数，y=在（0，+）上是减函数，所以 y=在（-,2）上是增函u1 x21数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。尤新教育辅导学校- 2 -二、方法与例题二、方法与例题 1数形结合法。例 1 求方程|x-1|=的正根的个数.x1【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=的图象，由图象可知两者有x1唯一交点，所以方程有一个正根。例 2 求函数 f(x)=的最113632424xxxxx大值。【解】 f(x)=，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ，222222)0()
7、 1()3()2(xxxxB（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2的交点10) 12(322时等号成立。所以 f(x)max=.10 2.函数性质的应用。例 3 设 x, yR，且满足，求 x+y.1) 1(1997) 1(1) 1(1997) 1(32yyxx【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义
8、域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，则由得 n0。同理有 m+n=0,x=,但与 m0,32 231422 xx 231411 xx )23)(23()(51212 xxxx所以 f(x)在（-，-）上递增，同理 f(x)在-，+）上递增。32 41在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以x,y-，+）.41若 xy，设 xy 也可得出矛盾。所以 x=y.尤新教育辅导学校- 4 -即 f(x)=x，化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+
9、5x+1)=0, 因为 x0，所以 3x4+5x3+5x2+5x+10，所以 x=1.三、基础训练题三、基础训练题 1已知 X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射 f：XY 满足：对任意的 xX，它在 Y 中的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数，这样的映射有_个。 2给定 A=1，2，3，B=-1，0，1和映射 f：XY，若 f 为单射，则 f 有_个；若 f 为满射，则 f 有_个；满足 ff(x) =f(x)的映射有_个。 3若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点（-1，-1） ，则图象与直线一共有_ 个交点。4函数 y=f(x)的值域为，
10、则函数 g(x)=f(x)+的值域为_。94,83)(21xf5已知 f(x)=，则函数 g(x)=ff(x)的值域为_。11 x 6已知 f(x)=|x+a|，当 x3 时 f(x)为增函数，则 a 的取值范围是_。7设 y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_。218若函数 y=(x)存在反函数 y=-1(x)，则 y=-1(x)的图象与 y=-(-x)的图象关于直线 _对称。9函数 f(x)满足=1-，则 f()=_。 xxf1211 xxx110. 函数 y=, x(1, +)的反函数是_。11xx11求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=;
11、 (3)y=x+212xx111xxxx; (4) y=1x.212 xx12. 已知定义在 R 上，对任意 xR, f(x)=f(x+2)，且 f(x)是偶函数，又当 x2,3时，)(xfy f(x)=x，则当 x-2,0时，求 f(x)的解析式。尤新教育辅导学校- 5 -四、高考水平训练题四、高考水平训练题1已知 a, f(x)定义域是（0,1，则 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_。0 ,212设 0a0，函数 f(x)定义域为 R，且 f(x+a)=，求证：f(x)为周期函2)()(21xfxf数。11设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为尤新教育辅
12、导学校- 6 -，（0，a1,F(x)是奇函数，则 G(x)=F(x)是_（奇偶性）. 21 11xa3若=x，则下列等式中正确的有_.F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= xxF11；F(x-1)=F(x)；F(F(x)=-x. xxF114.设函数 f：RR 满足 f(0)=1，且对任意 x,yR，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则 f(x) =_. 5已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1，且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x) +1。若 g(x)=f(x)+1-x，则 g(2002)= _.6. 函数 f(
13、x)=的单调递增区间是_. 3212 xx7. 函数 f(x)=的奇偶性是：_奇函数，_偶函数（填是，非） 。221xxx8. 函数 y=x+的值域为_.232 xx9设 f(x)=, 3 , 21 2 , 1 1 xxx对任意的 aR，记 V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，试求 V(a)的最小值。尤新教育辅导学校- 7 -10解方程组： （在实数范围内） xzzyyx2221.1111设 kN+, f: N+N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意 nN+, 有 ff(n)=kn，求证：对任意 nN+, 都有nf(n)12 kk.21nk 六
14、、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f，满足：（1）对任意 x0, f(x)=xf；（2）对所有的 x-y 且 xy0，有 f(x)+f(y)=1+f(x+y). x1尤新教育辅导学校- 8 -2.设 f(x)对一切 x0 有定义，且满足：（）f(x)在（0，+）是增函数；()任意 x0, f(x)f=1，试求 f(1). xxf1)(3. f:0,1R 满足：（1）任意 x0, 1, f(x)0；（2）f(1)=1；（3）当 x, y, x+y0, 1时， f(x)+f(y)f(x+y)，试求最小常数 c，对满足（1） ， （2） ， （3）的函数 f(x)都有 f(x)cx.4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。5对给定的正数 p,q(0, 1)，有 p+q1p2+q2，试求 f(x)=(1-x)+22xp 在1-q,p上的最大值。22)1 (xqx尤新教育辅导学校- 9 -6已知 f: (0,1)R 且 f(x)=. qpqpqpxqpQxx0 , 1),( ,1当 x时，试求 f(x)的最大值。 98,877函数 f(x)定义在整数集上，且满足 f(n)=，求 f(100)的值。 )1000()5()100
