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1、baOdcOe物理与几何的完美结合 -2012 年新课程高考物理压轴题赏析 武汉市新洲区第一中学阳逻校区 胡东明一、原题赏析 原题是一圆形匀强磁场区域，一带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子入射速度方向不 指向圆心。后将磁场换成匀强电场，带电粒子在电场中做类平抛运动，求电场强度的大小。赏析： 第一步：审题关 粒子沿直线从圆上的 a 点射入磁场，从圆上的 b 点离开该区域，离开时速度方向与直 线垂直。这里要注意射入磁场的速度方向是沿直线，粒子在磁场中做匀速圆周运动。 同一粒子以同样速度沿直线在 a 点射入柱形区域，也在 b 点离开该区域。粒子在电场 中做类平抛运动。 第二步：磁场关 粒子在磁场中
2、做圆周运动，设圆周的半径为 r，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：2vqvBmr解得 mvrqB式中 v 为粒子在 a 点的速度。 第三步：几何关 如图 2，过 b 点和 O 点作直线的垂线，分别与直线交于 c 和 d 点，粒子运动的轨迹圆心为 O。由几何关系知，四边形 Oacb 一正方形，因此 rbcac设，由几何关系得： xcd xRac5422 53xRRbc联立式得： Rr57第四步：电场关 再考虑粒子在电场中的运动，设电场强度的大小为 E，粒子在电场中做类平抛运动。 设其加速度大小为 a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得：qE=ma 2 21atr r=vt 式中 t 是粒
3、子在电场中运动的时间，联立式得：mqRBE5142 二、试题中的几何关系分析 本题的关键是几何关系。审清题意，画好粒子在磁场中运动的轨迹图是解决本题的关键。图 1注意 a、b 连线并不过圆心 O，垂足 c 点也不在圆上。学生画图中常见的错误有： 错误一、把四边形 Oacb 画成圆内接正方形。根据几何关系易知，圆内接正方形的条件是：圆心 O 到直线的距离为，对应粒子的轨迹半径。2 2R2rR错误二、将 a、b 连线画成过圆心 O。根据几何关系，如果 a、b 连线画成过圆心 O，O 到直线的距离为，则。而本题中，。也可从角度方面分析发R536 5bcR7 5acbcrR现这种错误。 错误三、把四边
4、形 Oacb 画成圆内接四边形，且将 a、b 连线画成过圆心 O。根据几何关系，如果圆心 O 到直线的距离为，则，。此时，即 O点不可R538 5acR6 5bcRacbc能是粒子运动的轨迹圆心。 错误二与错误三往往是同时出现。 三、试题拓展 根据上述错误，很容易对试题进行如下改编拓展。拓展一、试题条件改为：圆心 O 到直线的距离为。此时，四边形 Oacb 为圆内接正2 2R方形，对应粒子的轨迹半径。这样，试题难度将大大下降，考生也可能想当然地2rR画出轨迹，试题的可信度也会下降。拓展二、试题条件改为：圆心 O 到直线的距离为。试题与原题解题过程级结果完全相4 5R同。从几何关系上来看，相当于
5、粒子从原题中 b 点沿 bc 方向入射，从 a 点沿 ac 方向射出。即试题条件也可改为：圆心 O 到直线 bc 的距离为。再次印证此题的关键是几何关系。3 5R拓展三、试题条件改为：圆心 O 到直线 ac 的距离为 。设，则由，根lxcd rbcac据几何关系知：，解得或 l=x。下面分两种情况2222lRxxRl222xlR讨论：a对于，表明 c 点在圆周时，直角三角形 cOd 中的勾222xlR股定理，是一个恒等式。结合知，此2222lRxxRl时，此时，四边形 Oacb 为圆内接正方形，2 2xlR 轨迹圆的半径（如图 3） 。此即上述错误22rlR一和拓展一的结果。b对于 l=x，表
6、明四边形 Odce 是正方形，且。adbe图 2abOcO daOOb由此可见，上述 a 只是 b 的一个特例。拓展四、将试题中射入和射出的速度方向垂直关系改为速度方向夹角为。此时如090图 4，根据几何关系易知，轨迹圆的半径为。rR 拓展五、将直线 ac 移到 O 点的左侧（如图 5） 。根据几何关系，四边形 Odcb 是正方形，其边长为半径。其几何关系比原题要简单得多。设圆心 O 到直线 ac 的距离为 ，连接rl Oa，在直角三角形 Oda 中，由勾股定理得，。22rRll小结：本问题的实质是圆与圆的相交问题，画好轨迹图， 突破几何关，是解决这类问题的关键。四、相关高考题赏析 2009
7、年海南高考试题：如图，ABCD 是边长为 a 的正方形。 质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为 v0的初速度沿纸面 垂直于 BC 边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。 电子从 BC 边上的任意点入射，都只能从 A 点射出磁场。不计重力， 求：此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；此匀强磁场区 域的最小面积。解析解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为 B。令圆弧是自 C 点垂直于 BC 入射AEC的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力为0fev B方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在 CB 边或AEC其延长线上。依题意，圆心在 A
8、、C 连线的中垂线上，故 B 点即为圆心，圆半径为按照a 牛顿定律有2 0 2vfm联立式得0mvBea（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂C 直于入射电子在 A 点沿 DA 方向射出，且自 BC 边上其它点BC 垂直于入射的电子的运动轨道只能在 BAEC 区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。AEC为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中 A 点的电子的速度方向与 BA 的延长线交角为（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹如右图所示。图中，圆02qpA的圆心为 O，pq 垂直于 BC 边 ，由式知，圆弧的半径仍为，在 D 为原点、APAPa图 4baOdcO图
9、 3ABCDDC 为 x 轴，AD 为轴的坐标系中，P 点的坐标为y( , )x ysin(cos )cosxayazaa 这意味着，在范围内，p 点形成以 D 为圆心、为半径的四分之一圆周，02aAFC它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。 因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周BDa和所围成的，其面积为AECAFC2221122()422Saaa点评：本题同样是考查带电粒子在圆形磁场区域运动问题，试题中图形与上图 4 有异曲同 工之妙，其中几何关系也有诸多相同的地方。电子最后都会聚到 A 点，这一现象叫磁聚焦。拓展训练： 1、如图
10、所示，半径为 r =10cm 的圆形匀强磁场区域边界跟 y 轴相切于坐标原点 O，磁感应 强度为 B=0.332T，方向垂直纸面向里。在 O 处有一放射源，可沿纸面向各个方向射出速 率为 v=3.2 106m/s 的带正电粒子，已知该粒子的质量 m=6.64 10-27kg，电量为 q=3.2 10-19C。不计重力。 （1）沿半径 OC 方向射出的粒子，穿过磁场时方向偏转角度 是多大？ （2）在磁场中运动时间最长的粒子运动时间是多少？ 解：（1）粒子轨道半径为 R，则(2)粒子在磁场中作圆周运动，运动时间最长的粒子对应的圆弧最长，相应的弦长也最大， 最长的弦为磁场圆的直径，对应转过的圆心角为
11、故粒子在磁场中运动的最长时间2、在直径为 d 的圆形区域内存在着均匀磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于圆面指向纸外一电荷量为 q、质量为m 的带正电粒子，从磁场区域的一条直径 AC 上的 A 点沿纸面射入磁场，其速度方向v ACBd与 AC 成角，如图所示若此粒子在磁场区域运动过程，速度的方向一共改15变了 90重力可忽略不计，求：（1）该粒子在磁场区域内运动所用的时间 t（2）该粒子射入时的速度大小 v解析：（1）粒子在匀强磁场中运动，有rvmqvB2 运动周期 vrT2得轨道半径，周期 qBmvr qBmT2粒子的速度方向改变了，所用的时间90qBmTt24（2）粒子的运动情况如图所示A
12、OD 是等腰直角三角形rAD2在CAD 中，3090OADCAD30coscosdCADdAD解得半径 dr46因此粒子射入时的速度大小mqBdv463、如图(a)所示，在以 O 为圆心，内外半径分别为 R1和 R2的圆环区域内，存在辐射状电 场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差 U 为常量，R1=R0，R2=3R0。一电荷量为 +q、质量为 m 的粒子从内圆上的 A 点进入该区域，不计重力。 (1)已知粒子从外圆上以速度 v1射出，求粒子在 A 点的初速度 v0的大小 (2)若撤去电场，如图(b)，已知粒子从 OA 延长线与外圆的交点 C 以速度 v2射出，方向与 OA 延长线成 45角
13、，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间 (3)在图 19(b)中，若粒子从 A 点进入磁场，速度大小为 v3，方向不确定，要使粒子一定 能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？v ACBdDOrr解：（1）由于洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理有22 1011 22qUmvmv解得012qUvvm（2）由牛顿第二定律rvmqvB2 如图，设粒子运动轨迹的圆心为 O，半径为 R。由几何关系 知222 21()RRRR联立解得，磁感应强度大小202 2mvBqR粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为22 RTv由几何关系确定粒子在磁场中运动的时间为1 4tT联立解得022 2Rtv（3）如答图 3，为使粒子射出，则粒子在磁场内的运动半 径应大于过 A 点的最大内切圆半径，该半径为12 32RRR故磁感应强度应小于3 3 02mvBqR
