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1、1HGDCABEFAB CDE20152015 年重点中学自主招生数学模拟试题一年重点中学自主招生数学模拟试题一答题时注意答题时注意: 1、试卷满分、试卷满分 150 分分;考试时间：考试时间：120 分钟分钟. 2、试卷共三大题，计、试卷共三大题，计 1道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。一、选择题（共一、选择题（共 5 5 小题，每题小题，每题 6 6 分，共分，共 3030 分分. .以下每小题均给出了代号为以下每小题均给出了代号为 A,B,C,DA,B,C,D 的四个选项的四个选项, ,其中有且只有一个选项是正确的其中有且只有
2、一个选项是正确的. .请将正确选项的代号填请将正确选项的代号填 入题后的括号内入题后的括号内. .不填、多填或错填均不得分）不填、多填或错填均不得分）1、如果关于 x 的方程至少有一个正根，则实数 a 的取值范围是（ 2230xaxa）A、 B、 C、 D、22a23 a23a23a2、如图，已知：点、分别是正方形的边的中点，分别EFABCDBCAB、DFBD、 交于点，若正方形的面积是 240，则四边形的面积等CEHG、ABCDBFHG 于（ ） A、26 B、28 C、24 D、30 3 、设是两两不等的实数，且满足下列等式： zyx、，则代数式66633633)()(zxxyxzxxyx
3、的值是 （ ）xyzzyx3333A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算4、如图，四边形内接于以为直径的，已知：BDCEBCA，则线段的长30,53cos,10BCEBCDBCDE是 （ ）A、 B、7 C、4+3 D、3+4893335、某学校共有 3125 名学生，一次活动中全体学生被排成 一个排的等腰梯形阵，且这排学生数按每排都比前一排 nn 多一人的规律排列，则当取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人n 数是 （ ） A、296 B、221 C、225 D、6412二、填空题：（共二、填空题：（共 5 5 小题，每题小题，每题 6 6 分，共分，共 3030 分）
4、分）6、已知：实常数同时满足下列两个等式：；dcba、0cossincba （其中为任意锐角） ，则之间的关系式是：0sincosdbadcba、。7、函数的最小值是 。4433221xxxxy8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速 无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图） ，则这个三角形的内部以及边界没有被单位 圆滚过的部分的面积是 。9、已知：，则可用含的 253x2x有理系数三次多项式来表示为：=2。10、设p、q、r 为素数，则方程 的所有可能的解p、q、r组成的三2223rqpp元数组( p, q, r )是 。三、解答题（共三、解答题（
5、共 6 题，共题，共 90 分）分）11、 （本题满分（本题满分 12 分）分） 赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相 伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大 学后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的个字母（不论大小写）依次26abczL L， 用这 26 个自然数表示，并给出如下一个变换公式：12 326L，；已知对于任意的实数，记号表 的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(132126( 12xxxxyxx示不超过的最大整数；将英文
6、字母转化成密码，如，即 x17132188qh变成，再如，即。他们给出下列一组密码： 6121111fk变成etwcvcjwejncjw，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单wcabqcv3地写出翻译过程。12、 （本题满分（本题满分 15 分）分）如果有理数可以表示成（其中是任意有理数）的形式，我们就m22562yxyxyx、称为“世博数” 。m1个“世博数”之积也是“世博数”吗？为什么？ba、 2证明：两个“世博数”（）之商也是“世博数” 。ba、0b4GABCDE H13、 （本题满分（本题满分 15 分）分）如图，在四边形中，已知、的面积之比是 314，A
7、BCDABCBCDACD点在边上，交于，设。EADCEBDGkEADE GDBG求的值；32207k若点分线段成的两段，且，试用含的代HBE2HEBH2222pDHBHAHp数式表示三边长的平方和。ABD514、 （本题满分（本题满分 16 分）分） 观察下列各个等式：。LLL,304321 ,14321 , 521 , 112222222222你能从中推导出计算的公式吗？请写出你的推导过程；222224321nL请你用中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线与、轴的正半轴分别交于点，将线段322xxyxyBA、OA等分，分点从左到右依次为，分别过这个点n1654321nAAAAAAA
8、、L1n作轴的垂线依次交抛物线于点，设、x1654321nBBBBBBB、L1OBA、的面积依次为211ABA322ABA433ABAABAnn11。nSSSSS、L4321当时，求的值；2010n 123452010SSSSSSL试探究：当取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？n6ABJKLMNOPQRSWXYZC15、 （本题满分（本题满分 16 分）分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为 3、4 的直角三角形；ABC腰长为 4、顶角为的等腰三角形；36JKL 腰长为 5、顶角为的等腰三角形；120OMN两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边
9、形；PQRS长为 4 且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形。WXYZ 它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作可操作” ；否则，便称为“不可操不可操 作作” 。 证明：第种塑料板“可操作可操作” ； 求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作不可操作”的概率。7IADCBEF16、 （本题满分（本题满分 16 分）分） 定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。如图所示，已知：是的边上的旁切圆，分别是切点，IABCBCFE、 于点。ICAD D试探究：三
10、点是否同在一条直线上？证明你的结论。FED、设如果和的面积之比等于，试作, 6, 5BCACABDIEAEFmnEFDE出分别以为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程。mn nm、8HGDCABEF20152015 年重点中学自主招生数学模拟试题一年重点中学自主招生数学模拟试题一参考答案与评分标准参考答案与评分标准一、选择题（共一、选择题（共 5 5 小题，每题小题，每题 6 6 分，共分，共 3030 分分. .以下每小题均给出了代号为以下每小题均给出了代号为 A,B,C,DA,B,C,D 的四个选项的四个选项, ,其中有且只有一个选项是正确的其中有且只有一个选项是正确的. .请将正确
11、选项的代号填请将正确选项的代号填 入题后的括号内入题后的括号内. .不填、多填或错填均不得分）不填、多填或错填均不得分）1、如果关于 x 的方程至少有一个正根，则实数 a 的取值范围是（ 2230xaxaC ）A、 B、 C、 D、22a23 a23a23a2、如图，已知：点、分别是正方形的边的中点，分别EFABCDBCAB、DFBD、 交于点，若正方形的面积是 240，则四边形的面积等CEHG、ABCDBFHG 于（ B ） A、26 B、28 C、24 D、30 3 、设是两两不等的实数，且满足下列等式： zyx、，则代数式66633633)()(zxxyxzxxyx的值是 （ A ）xy
12、zzyx3333A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算9AB CDE4、如图，四边形内接于以为直径的，已知：BDCEBCA，则线段的长30,53cos,10BCEBCDBCDE是 （ D ）A、 B、7 C、4+3 D、3+4893335、某学校共有 3125 名学生，一次活动中全体学生被排成 一个排的等腰梯形阵，且这排学生数按每排都比前一排 nn 多一人的规律排列，则当取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人n 数是 （ B ） A、296 B、221 C、225 D、641 二、填空题：（共二、填空题：（共 5 5 小题，每题小题，每题 6 6 分，共分，共 3030
13、分。不设中间分）分。不设中间分）6、已知：实常数同时满足下列两个等式：；dcba、0cossincba （其中为任意锐角） ，则之间的关系式是：0sincosdbadcba、。2222dcba7、函数的最小值是 8 。4433221xxxxy8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速 无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图） ，则这个三角形的内部以及边界没有被单位 圆滚过的部分的面积是 84 。9、已知：，则可用含的 253x2x有理系数三次多项式来表示为：=2。xx611 61310、设p、q、r 为素数，则方程 的所有可能的解p、q、r组成的三22
14、23rqpp元数组( p, q, r )是 。)3 , 3 , 3(三、解答题（共三、解答题（共 6 题，共题，共 90 分。学生若有其它解法，也按标准给分）分。学生若有其它解法，也按标准给分）11、 （本题满分（本题满分 12 分）分） 赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相 伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大 学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题：10有一种密码把英文按字母分解，英文中的个字母（不论大小写）依26abczL L， 次用这 26 个自然数表示，并给出如下一个变换公式：12 326L，；已知对于任意的实
