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1、1函数与导数专题复习函数与导数专题复习类型一类型一 导数的定义导数的定义 运算及几何意义运算及几何意义例 1：已知函数的导函数为，且满足，则（ ）)(xf)(xfxxfxfln) 1 (2)() 1 (fA- B.-1 C.1 D.e解：，xfxf1) 1 (2)(1) 1 (1) 1 (2) 1 (fff【评析与探究评析与探究】求值常用方程思想，利用求导寻求的方程是求解本题的关键。)(xf变式训练变式训练 1 1 曲线在点（1,3）处的切线方程为33xxy类型二类型二 利用导数求解函数的单调性利用导数求解函数的单调性例 2：何时有两个极值，何时无极值？恒增的条件是什dcxbxxxf23 31
2、)()(xf么？解：当时，,2)(2cbxxxf0442cb即时，有两个异根，由的图像知，在的左右两侧cb 20)(xf2, 1xx)(xfy 2, 1xx异号，故是极值点，此时有两个极值。)(xf2, 1xx)(xf当时，有实数根，由的图像知，在左右两侧同号，cb 20)(xf0x)(xfy 0x)(xf故不是的极值点0x)(xf当时，无根，当然无极值点cb 20)(xf综上所述，当时，恒增。cb 2)(xf【评析与探究评析与探究】此题恒增条件易掉“=”号，时，根不是极值点也易cb 2cb 2 0x错。变式训练变式训练 2 2 已知函数，它们的图像在处有相同的切bxxgaxxxf232)(,
3、)(1x线2求函数和的解析式；)(xf)(xg如果在区间上是单调增函数，求实数的取值范围)()()(xmgxfxF 3 ,21m类型三类型三 函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题例 3 已知2)(,ln)(2xxgaxxxxf对一切，恒成立，求实数的取值范围；, 0x)(xf)(xga当时，求函数在上的最值；1a)(xf)0(3,mmm解：对一切，恒成立，即恒成立。, 0x)(xf)(xg2ln2xaxxx也就是在恒成立xxxa2ln令xxxxF2ln)(则22) 1)(2(211)(xxx xxxF在（0,1）上，0，因此，在处取最小值，)(xF)(xF)(xF1x也就是最小值，即，所以
4、3) 1 ()(min FxF3a当时, ，由1a2ln)(,ln)(xxfxxxxf210)(exxf 得当时，在上， ，在上，210em 21,emx0)(xf3,12mex，因此，在处取得极小值，也是最小值，0)(xf)(xf21 ex 2min1)(exf由于01)3ln()3()3(, 0)(mmmfmf因此1)3ln()3()3()(maxmmmfxf3当时，因此在上单调递增，所以21 em 0)(xf)(xf3,mm，1ln)()(minmmmfxf1)3ln()3()3()(maxmmmfxf【评析与探究评析与探究】恒成立，求实数的取值范围常用分离常数法化为)(xf)(xga，
5、当不能分离常数时需视情况讨论；区间含参数而函数不含参数讨论最值时，min)(xha 最好作出其图像，从左自右地移动区间，观察函数图像的变化，然后求解，这样对区间参 数的讨论就会直观明了.变式训练变式训练 3 3 已知函数bxxxgaaxxf32)(),0( 1)(若曲线与曲线在他们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值)(xfy )(xgy ba,当时，若函数+在区间上的最大值为 28，求的取值范围9, 3ba)(xf)(xg2 , kk类型四类型四 导数与方程不等式问题导数与方程不等式问题例 4 设函数)1ln(2)1 ()(2xxxf若在定义域内存在，使得不等式能成立，求实数的最小值0x0
6、)(0 mxfm若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值axxxfxg2)()( 2 , 0a范围解：要使得不等式能成立，只需，求导得0)(0 mxfmin)(xfm 1)2(2 112)1 (2)( xxx xxxf函数的定义域为Q), 1(当时， ，所以函数在区间上是减函数)0 , 1(x0)(xf)0 , 1(当时，所以函数在区间上是增函数), 0( x0)(xf), 0( ，所以最小值为 1 1, 1)0()(minmfxf，由题设可得：方程)()1ln(2)1 ()(22axxxxxg4在区间上恰好有两个相异实根。设axx)1ln(2)1 ( 2 , 0)(xh)1ln(2)1
7、 (xx画出函数的草图得)(xh3ln232ln22a【评析与探究评析与探究】利用导数作出函数的草图，有助于求解函数的零点问题变式训练变式训练 4 4 已知函数，函数是区间上的减函数xxf)(xxfxgsin)()(1 , 1求的最大值若在上恒成立，求 的取值范围1)(2ttxgx1 , 1t讨论关于的方程根的个数xmexxxfx2)(ln2类型五类型五 优化问题优化问题 例 5 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格y（单位：元）满足关系式，其中，为常数。已知销售x2)6(103xxay63 xa价格为 5 元，每日可销售出该商品 11 千克。 求的值a 若
8、该商品的成本为 3 元，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品利润最大x解：因为时，所以5x11y2,11102aa由可知，商场每日销售量，所以商场每日销售该商品所获得的2)6(1032xxy利润)63()6)(3(102)6(1032)3()(22xxxxxxxf从而)6)(4(30)6)(3(2)6(10)(2xxxxxxf得，是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值，所以当时，函4x)(xf4x数取得最大值，且最大值等于 42)(xf【评析与探究评析与探究】求解优化问题的关键在于从实际情境中收集整理信息，利用相关知识建立5目标函数，抽象出函数表达式然后再用导数求解。 变式训练变式
9、训练 5 5 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 10 万元-1000 万元的 投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益y （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%x若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基)(xf)(xf本要求 现有两个奖励函数模型2150xy3lg4xy试分析这两个函数模型是否符合公司要求？强化闯关强化闯关1.设在区间上可导，其导函数为，给出下列四组条件)(xf,)(xfp: 是奇函数,q: 是偶函数)(xf)(xfp: 是以 T 为周期的函数，q: 是
10、以 T 为周期的函数)(xf)(xfp: 在上为增函数，q: 在上恒成立)(xf,0)(xf,p: 在处取得极值，q ：)(xf0x0)(0xf其中 p 是 q 的充分条件的是A B C D2.已知定义在 R 上的奇函数为，设其导函数为，当时，恒有)(xf)(xf0 ,x，令，则满足的实数的取值范围是)()(xfxxf)()(xxfxF) 12()3(xFFxA B C D2 , 1 21, 1 2 ,211 , 263.设函数，则xxexf)(A为的极大值点 B为的极小值点1x)(xf1x)(xfC为的极大值点 D为的极小值点1x)(xf1x)(xf4.已知函数时其定义域上的单调函数，则实数
11、的取值范围xxaxxfln)3(21)(2a5.直线与曲线相切于点 p（1,4） ，则 b 的值为bkxyxaxyln226.设是函数的两个极值点，若，2, 1xx)(2, 1xx xabxaxxf223)(2221 xx则 b 的最大值为7.已知函数（k 为常数） ，曲线在点处的切线与 x 轴平xekxxfln)()(xfy )1 (, 1 (f行 求 k 的值求的单调区间)(xf设，其中为的导函数，证明：对任意)()()(2xfxxxg)(xf)(xf21)(, 0exgx8.设函数cxxxgaxaxxxf42)(,31)(223试问函数能否在时取得极值？说明理由；)(xf1x若，当时，函数与的图像有两个公共点，求 c 的取值范围1ax4 , 3)(xf)(xg
