2.3.2两个变量的线性相关

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1、2.3.2 两个变量的线性相关例1：下表是某小卖部6天卖出热茶的杯 数与当天气温的对比表： 气温/2618131041杯数202434385064（1）将上表中的数据制成散点图. （2）你能从散点图中发现温度与饮料杯 数近似成什么关系吗? （3）如果近似成线性关系的话，请画出 一条直线方程来近似地表示这种线性关系 .（1）画出散点图：温度杯 数（2）从图中可以看出温度与杯数具有相 关关系，当温度由小到大变化时，杯数 的值由大到小. 所以温度与杯数成负相关.图中的数据大致分布在一条直线附近 ，因此温度与杯数成线性相关关系。 （3）根据不同的标准，可以画出不同的 直线来近似地表示这种线性关系。如可

2、以连接最左侧和最右侧的点，或者 让画出的直线上方的点和下方的点的数目 相同。温度杯 数温度杯 数由图可见，所有数据的点都分布在一 条直线附近，显然这样的直线还可以画 出许多条，而我们希望找出其中的一条 ，它能最好地反映x与Y之间的关系。换言之，我们要找出一条直线，使这 条直线“最贴近”已知的数据点。记此直 线方程是这里在y的上方加记号“”，是为了区分 Y的实际值y. 表示当x取xi (i=1，2，6) 时，Y相应的观察值为yi，而直线上对应 于xi的纵坐标是yi=bxi+a.上式叫做Y对于x的回归直线方程，b叫做回归系数。要确定回归直线方程，只要确定a与b.回归直线的方程 的求法：设x，Y的一

3、组观察值为 (xi，yi) (i=1，2，n) 且回归直线的方程为当变量x取xi (i=1，2，n)时，可以 得到： (i=1，2，n)， 它与实际收集到的yi之间的偏差是： (i=1，2，n)， 可见，偏差的符号有正有负，若将它们 相加会造成相互抵消，所以它们的和不能 代表n个点与相应直线在整体上的接近程 度。故采用n个偏差的平方和 表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.记 (为连加符号)上式展开后，是一个关于a，b的二次多 项式，应用配方法，可求使Q取得最小值 时a、b的值.这样，回归直线就是所有直线中Q取最 小值的那一条。由于平方又叫做二乘方， 所以这种使“离差平方和为最小”的方法，

4、叫做“最小二乘法”。用最小二乘法求回归直线方程中a，b 有下面的公式：其中同样a，b的上方加“”，表示是由观察值 按最小二乘法求得的估计值。由于 ，故巧合的是：(xi，yi) (i=1 ，2，n)的中心点 在回归直线上 ，x处的估计值为 .例2. 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验， 得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一 组观察值如下表： x/s5101520304050607090 120Y/m610101316171923252946（1）画出表中数据的散点图；（2）求Y对x的回归直线方程；（3）试预测腐蚀时间为100时腐蚀深度是 多少？解：（1）散点图如下（2）根 据公式求 腐蚀深度 Y对

5、腐蚀 时间x的 回归直线 方程。序号xYx2xy 1562530 21010100100 31510225150 42013400260 53016900480 640171600680 750192500950 8602326001380 9702549001750 10902981002610 1112046144005520 5102143678013910计算a, b的值.由上表分别计算x，y的平均数得写出回归方程为y=0.304x+5.346. （3）根据求得的回归方程，当腐蚀时间 为100s时，y=0.304100+5.346=38.86(m)即腐蚀深度约为38.86m.练习题 1

6、下列说法正确的是（ ） （A）y=2x2+1中的x，y是具有相关关系的 两个变量 （B）正四面体的体积与其棱长具有相关 关系 （C）电脑的销售量与电脑的价格之间是 一种确定性的关系 （D）传染病医院感染“非典”的医务人员 数与医院收治的“非典”病人数是具有相关 关系的两个变量D2. 有关线性回归的说法，不正确的是( ) A. 相关关系的两个变量不是因果关系B. 散点图能直观地反映数据的相关程度C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D. 任一组数据都有回归方程D3.下面哪些变量是相关关系( )A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格C.身高与体重 D.铁的大小与质量C4. 回

7、归方程y=1.5x15，则( )A. y=1.5 x15 B. 15是回归系数aC. 1.5是回归系数a D. x=10时，y=0A5.线性回归方程y=bx+a过定点_.(x, y)6.已知回归方程y=4.4x+838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为_.7.下表是某地的年降雨量与年平均气温， 判断两者是相关关系吗？求回归直线方程 有意义吗？ 年平均气温 (C)12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量 (mm)748542507813574701432由散点图看出 ，求回归直线 方程无实际意 义。8.某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户 数的历史资料如下：年 份1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002x用户户（万 户户）11.21.61.822.53.244.24.5y （百万立 方米）679.81212.114.5202425.427.5（1）求回归方程； （2）若市政府下一步再扩大5千煤气用户 ，试预测该市煤气消耗量将达到多少.解：（1）画散点图并求回归方程y=6.0573x+0.0811（2）当x=5时, y=30.367630.37。