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1、1.10.4 幻方幻方例 1 将 19 九个自然数，填入下图空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是 15。 解：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角 线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、 “洛书”， 又叫“纵横图”。由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。制作这种幻方的方法是： 把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排（如图一） ，然后把上、下两数对调，左、 右两数也对调（如图二） ，最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。如果把图三制好的幻方，旋转 90、180、270都各成一个新的幻方。如果画
2、在透明纸 上，反过来观察，再旋转上述角度每次所得到的幻方，也具备上述性质。这样便可得到八 个图，当然，它们并无实质上的区别。例 2 将 19 九个自然数，填在 33 正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任 一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。 解：具备题中特征的称为“反幻方”。据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合上述 条件的反幻方，只有两个，即：反幻方也很有趣，瞧，它的数字排列酷似个螺旋，前一个由外向内转，后一个由内向 外转。例 3 认真观察下列的七阶幻方，指出它有哪些显著的特点。解：这个幻方纵、横、斜对角的七个数和是 175；如果圈出图内 55 格，也是个幻
3、方， 它的纵、横、斜五个数和也是 175；圈出中心的三阶幻方，纵、横、斜三数和是 75。这个 幻方的奇妙之处是：将七阶幻方，剥掉一层，就成了五阶幻方；再剥掉一层，就成了三阶 幻方。它从中心向外辐射，内部的三阶幻方是个核心。因此，这种幻方，叫做同心幻方， 也叫嵌套幻方。例 4 下图是由 164 组成的八阶幻方，如果把其中的数字逐个间隔地取出来，按原顺 序重新组成两个四阶方阵，这个新的数字方阵，有什么特点？解：我们先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面的四阶方阵，再分析它们的 特点。在这两个图中，任意一横行的数字和是 130，任意一纵行的和以及斜对角四数之和都 是 130！更为奇妙的是：把所有
4、的对角线连起来，凡是不足四个数的，便与它相对平行的 间隔大的一个或两个数相加，其和仍是 130。 例如：例 5 下图是个八阶幻方，算一算，它们的纵、横、对角线上的八个数和是多少？再算 算八个数的积是多少？你发现了什么？解：任抽几行算算看： 2161611752171905875840 393413824310029105152840 117232175045108133138840 20015358139257162105840 4660178791225162152840 20315390184381082539840 纵、横、斜任意一行，八个数的和都是 840。将上面的每八个数相乘，令人惊
5、奇的是， 它们的积也相等！都是 205806823185600。这个乘积的数字太大了！有没有乘积小一些的 幻方呢？遗憾的是，至今为止，数学爱好者们对阶数低于 8 的“双料”幻方，还没发现过！ 尽管多于八阶、十六阶以及更高阶的幻方都有制作。但是这种等和、等积的幻方，八阶以 下的根本没有，或虽然有却无人能创制，总之，现在还是个谜！例 6 下面的图是由 181 连续自然数组成的九阶幻方。现把它分割成相等的九块。算 算看，每一小块中的纵、横、斜对角的数字和有什么特点？解：从左至右，从上而下，我们对每一个方块中的纵、横、斜三数进行加法运算，令 人惊奇的是：这个九阶幻方中，所分成的九小块，每一小块也都自成
6、幻方！它们的常数分 别是：96，231，42；69，123，177；204，15，150。这三组数的和都是 369，也是相等的， 这个数又是整个大幻方的常数。 这种一个大幻方中，又蕴含着许多各自独立的小幻方，被称作“母子幻方”。最早的“母子幻方”创制者是我国宋代的数学家杨辉，当时他只画出了图形，没加任何文字说明，人们 大都像猜谜一样看不懂。后人经过研究，终于明白了他的意图，还弄懂了制作的方法。例 7 上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，它是从浦东陆家嘴附近一个名叫陆 深的墓中发现的。据考证，陆深是三国时东吴大将陆逊的后人。玉挂的正面刻有：“万物非 主，唯其真宰，穆罕默德为其使者。 ”玉挂的反面却整齐地刻着 16 个阿拉伯数字，经过专家 的破译，原来是个四阶完全幻方（如图） 。请你认真地计算一下，这个幻方有哪些更奇特的 特点？解：这个幻方具有如下特点： 纵、横、对角线四数之和（34）都相等。 对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如： 11134635141234 14231559128131641117610 幻方中，任何一个 22 正方形中四数之和也相等。如 81113211142714171234 幻方中，任何一个 33 正方形，它的四个角数字之也是 34！如： 8914311611634
