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1、第十二章 平稳随机过程1 基本概念定义 1：已给 s.p，若，即 T 中任意的tXtXTt 1n与， 维 r.v与,21ntttLhththtn,21Ln),( 21ntttXXXL有相同的 维 d.f。即),( 21hththtnXXXLn),;,(),(),(),;,(2121212121212121nnnhththtntttnnxxxhththtFxXxXxXPxXxXxXPxxxtttFnn LLLLLL则称 s.p是一个严（强，狭义）平稳过程。tX当维 d.l 时，则有tXn),;,(),;,(21212121nnnnxxxhththtfxxxtttfLLLL若取 =1，则有，特别，
2、当，可取n),(),(1111xhtfxtfT0则有。此时平稳过程的一维 d.l 与 （时间）,1th), 0(),(111xfxtftX1t无关。于是XXmdxxxftXE), 0()(1即的均值是一个与时间无关的常数。tX其方差 也与时间 t 无关的.), 0()(222 XXXttdxxfmxmXEXD常数。 而且的二维 d.l 也只依赖于即当时，有TX.21tt 2th).,;(),; 0 ,(),;,(2121212121xxfxxttfxxttf 所以与之间自相关为tXtX ).(),;(),(212121XttXRdxdxxxfxxXXEttR它只依赖于 类似地之间协方差为.tt
3、XX ,.)()(2 XXXtXtXmRmXmXEC并且 .)0()0(2222 XXtXXXmXEmRC一般来说，实际应用中的 s.p 是很难达到如此严平稳的要求的，故而求其次，即有如下的定义 2：已给 s.p若且满足,TtXXtT,2tXE1（常数） （又记）XtmXEX2 （又记）).(XttRXXE)(XttRXXE则称是一个宽（弱、广义）平稳 s.p.简称为平稳 s.p。当取复TXTX值时，则称复平稳 s.p.),(ttXXXER定义 3：已给两平稳 s.p ，若满足tXtXTt ,TtYYtT则称是联合平稳的或平稳相关的。)(),(YXttYXRYXEttRTTYX ,例 1例 3
4、 见书上，当 T 取离散值时，称平稳序列。例 4：已给 s.p,其中为常数，r.v，试证tX)(0COS0)2 , 0(U是平稳 s.p.tX事实上，显然。 1)(22PdPdPXXEtt（或）1)()()(cos022dfdftXEt20200000)sinsincos(cos21)cos(21)cos(dttdttEXEt=0.及 )cos()cos(000ttEXXEtt)22cos(21cos21000tE2sin)2sin(212cos)2cos(21cos2100000EtEt.cos210故由定义 2 知是一个平稳 s.p. tX2 各态历经性（遍历性）先令给二阶矩 s.p.在
5、T 上均方积分定义，考察,baTtXXtTa,b上一组分划 记若存在.210bttttanL,11iiiiiittttt一个 r.v 使即 Y. 0lim210max niitYtXE ii)0max( 112 ininiitYtX i则称在a,b上均方可积，并记TXbatdtXY.理论上已证明：二阶矩 s.p在 T=a,b上均方可积的充分条件是TX并且 babaXdsdttsR.),(batdtXEYE.再引入时间均值与时间相关函数。时间均值定义为 是 r.vTTTdttXTtX)(21lim)(时间相关定义为 是 r.v TTTdttXtXTtXtX)()(21lim)()(先看一例例 1
6、 见书。 )(tXEXQ定义：设是平稳 s.p)(tX1若则称的均值具有多.)(1)()(XXtXtXEtXP)(tX态历经性。2若实数 有 )()()(XRtXtX. 1)()()()()(XRtXtXEtXtXP则称的自相关函数具有多态历经性。若称得均方值)(tX, 0)(tX具有多态历经性。3当的均值与相关函数都具有多态历经性时，则称是多态)(tX)(tX历经的（又称遍历或 ergodicity）.Th1. 平稳 s.p的均值具有多态历经性 )(tX. 0)( )21 (1lim220dRTTXXT想法（思路） 。任一 r.v ,现在故. 1)(0EcPD.)(tX（*）. 1)()()
7、(0)(XtXEtXEtXPtXD证：先求再求.)(21lim)(21lim)(XTTTTTTdttXETdttXTEtXE.)(tXD TTTTxXtXTTTTTXTTTXdtdtttRTdttXdttXTEdttXTEtXEtXD2 211222 221122 222)(41lim)()(41lim)(21lim)()(下面计算 TTTTXIdtdtttR2112)(令， 则212211 tttt )(21)(21211212tt，2121 2121 21),(),(2121 ttJ从而 TXTXTTX GXXdRTdRTdRdddRddRI20202221202022212212.)()
8、2(2)()2(2)(2)(2)(212.)( )21 (1lim)()21 (1lim)(220220dRTTdRTTtXDXXTTXTXT代入（*）式即得证明。推论：若 极限，则均值具有各态历经性，极限2lim( )XtXRt( )X t均值不具有各态历经性。2lim( ).( )XXtRtX t 定理 2：平稳 s.p相关函数具有各态历经性( )X t，221 1101lim(1) ( )( )02TXTBRdTT 而 。111( )( )()()()BE X t X tX tX t定理 3：平稳 s.p，( )X t0t 01(lim( )( )1TXTPX t dtEX tT 。20
9、1lim(1)( )0TXXTRdTT 定理 4：s.p（平稳），( )X t0t 01(lim( )()( )1TXTPX t X tdtRT 。21 1101lim(1) ( )( )0TXTBRdTT 3 相关函数的性质设和是平稳相关的 s.p。即有：( )X t( )Y t， ，( )( )()XREX t X t( )( ) ()YREY t Y t( )( ) ()XYREX t Y t它们具有性质：122(0)( )0XXRE Xt2，即是 的偶函数.()( )()()( )( )XXREX t X tEX tX tR( )XR.()( ) ()()( )( )XYYXREX t
10、 Y tEY tX tR3由许瓦兹不等式知：22( )( )()( )()( )()(0)XXREX t X tE X t X tE X tE X tR( )( )( )()()XCE X tEX tX tEX t( )()XXE X tX t22( )()XXE X tE X t222(0)XXXXCg同理有：22( )( ) ()( ) ()(0)(0)XYXYREX t Y tE X tE Y tRR22 XYXYgg22( )( ) ()( ) ()XYXYXYCE X tY tE X tE Y t(0)(0)XYXYCC 称 和 ( )( )(0)X X XC C( )( )( )(
11、0)(0)XYXY XY XYXYCCCC 各为标准自协方差和标准互协方差函数，故有，. ( )1X( )1XY由第 4 章3 知，当且仅当时，与互不相关.( )0XY( )X t( )Y t4是非负定的，即中及实函数有：( )XRT12, ,nt ttL( )g t1111() ( ) ( )( )( ) ( ) ( )nnnnijijjiijX ijijRttg t g tE X tX tg t g t2111( ) ( )( ) ( )( ) ( )0nnniijjii ijiEX t g tX tg tEX t g t反之，理论上已证明：若是连续的非负定函数，则它必定是( )h某平稳
12、s.p 的自相关。5若平稳 s.p满足条件( )X t00()( )()( )0)1P X tTX tP X tTX t即称是周期为的平稳 s.p.0()( )X tTX t( )X t0T平稳，故，利用( )X tQ00()( )()( )0XXE X tTX tEX tTEX tr.v ,.0()1DPcE22 000022 02 0()( ) )()( )1()( )0()( )1()( )0()()0X tTX tDEE tP X tTX tP X tTX tE X tTX tDEE X tTX tE X X tTX t 知(现在且于是由许瓦兹不等式就有2 022 00000( )()( )()()0( )()()0()( )0()( )XXXXE X tX tTX tE X tE X tTX tE X tX tTX tRtTRRTR故即此时周期平稳随机过程的自相关函数也是周期为的函数。( )XR0T4 平稳随机过程的功率谱密度（一） 平稳随机过程功率谱密度回忆，设普通函数满足（能量有限） ，则有( )x t| ( )|x tdt Fourier 变换( )( ),11( )( ).2itw xitw xF wx t edt ix tF w e dwParseval 公式221( )|( )|2xx t dtFwdw为，作截尾函数| ( )|x tdt
